Квадратична форма

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

Означення

Нехай ${\displaystyle K}$ є полем. Квадратичною формою над полем ${\displaystyle K}$ називається однорідний многочлен другого степеня, тобто:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.}$

Якщо характеристика поля не є рівною 2, то як правило у цьому виразі ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}.}$ В іншому випадку можна ввести нові коефіцієнти ${\displaystyle a'_{ij}=a'_{ji}={\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}.}$ Для полів характеристики 2 таку заміну не можливо провести.

Квадратичну форму від n змінний називають n-арною, зокрема бінарною для n = 2.

Квадратичні простори і білінійні форми

Еквівалентно , нехай ${\displaystyle V}$ є скінченновимірним векторним простором ${\displaystyle K}$. Тоді квадратичною формою називається відображення ${\displaystyle q:V\to K}$ для якого ${\displaystyle q(av)=a^{2}q(v)}$ для всіх ${\displaystyle a\in K,v\in V}$ і відображення ${\displaystyle q(u+v)-q(u)-q(v)}$ є білінійним, тобто лінійним по аргументах ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$.

Простір ${\displaystyle V}$ із введеною квадратичною формою називається квадратичним простором.

Для полів характеристика яких не є рівною 2 квадратична форма породжує симетричну білінійну форму:

${\displaystyle b_{q}(u,v)={\tfrac {1}{2}}(q(u+v)-q(u)-q(v)).}$

Ця білінійна форма називається асоційованою білінійною формою. Навпаки симетрична білінійна форма ${\displaystyle b(u,v)}$ породжує квадратичну форму:

${\displaystyle q(u)=b(u,u).}$

Для полів характеристики 2 можна ввести білінійну форму ${\displaystyle q(u+v)-q(u)-q(v)}$ пов'язану із квадратичною але у цьому випадку навпаки ця форма не визначає початкову квадратичну форму оскільки ${\displaystyle q(u+u)-q(u)-q(u)=0.}$

Асоційовані білінійні форми дозволяють записати квадратичну форму як однорідний многочлен другого степеня від координат вектора у деякому базисі ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$. А саме:

${\displaystyle q(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

де ${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}}$ — розклад вектора через елементи базису, а ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}=b_{q}(e_{i},e_{j})=b_{q}(e_{j},e_{i}).}$

Для двох квадратичних просторів ${\displaystyle (V,q_{1})}$ і ${\displaystyle (W,q_{2})}$ лінійне відображення називається ізометрією якщо воно є ін'єктивним і ${\displaystyle q_{1}(v)=q_{2}(T(v)).}$ Якщо це лінійне відображення є ізоморфізмом, то простори називаються ізометричними. Ізометричні простори є ізоморфними як квадратичні простори.

Матриця квадратичної форми

Нехай ${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}}$ є квадратичною формою.

Матрицю ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ називають матрицею квадратичної форми ${\displaystyle q(x)}$. У разі, якщо характеристика поля ${\displaystyle K}$ не дорівнює 2, можна вважати, що матриця квадратичної форми симетрична, тобто ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$.

Позначивши ${\displaystyle x}$ вектор-стовпець змінних ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ квадратичну форму можна записати у матричному виді:

${\displaystyle q(x)=x^{\mathrm {T} }Ax.}$

Навпаки кожна симетрична матриця таким чином задає квадратичну форму.

Якщо квадратична форма визначена як квадратичне відображення на квадратичному просторі над полем характеристика якого не є рівною 2, то елементи матриці задаються значеннями асоційованої білінійної форми для деякого базису ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$:

${\displaystyle a_{ij}=b_{q}(e_{i},e_{j}).}$

Якщо ${\displaystyle \ (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ — деякий базис лінійного простору ${\displaystyle \ V,}$ то квадратична форма буде представлена як:

${\displaystyle q({\textbf {x}})={\textbf {x}}^{\mathrm {T} }A{\textbf {x}}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$

Якщо ${\displaystyle \ (e'_{1}\ldots e'_{n})=(e_{1}\ldots e_{n})S}$ деякий інший базис e ${\displaystyle \ V,}$ де ${\displaystyle \ S}$ — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

${\displaystyle \ A'=S^{T}AS.}$

Квадратичні форми називаються еквівалентними, якщо їх матриці пов'язані рівністю ${\displaystyle A'=C^{T}A\,C}$ для деякої невиродженої матриці ${\displaystyle C}$.

З формули ${\displaystyle A'=C^{T}A\,C}$ випливає, що визначник матриці квадратичної форми не є її інваріантом (тобто не зберігається при заміні базису, на відміну, наприклад, від матриці лінійного відображення), але її ранг є інваріантом. Таким чином, визначено поняття рангу квадратичної форми.

Якщо матриця квадратичної форми має повний ранг ${\displaystyle n}$, то квадратичну форму називають невиродженою, в іншому випадку - виродженою.

Приклади

Квадратична форма від однієї змінної:

${\displaystyle \ Q(x)=ax^{2},}$

Квадратична форма від двох змінних:

${\displaystyle \ Q(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy,}$

Квадратична форма від трьох змінних:

${\displaystyle \ Q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz.}$

Канонічна форма

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд: ${\displaystyle \ Q(x)=\sum _{i}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$.

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа). Дана діагоналізація може бути не є диною

У випадку дійсних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі ${\displaystyle \lambda _{i}}$ рівні 1, -1 або 0. Для комплексних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі ${\displaystyle \lambda _{i}}$ рівні 1 або 0.

Для дійсних квадратичних форм виконується закон інерції Сильвестра: кількість нульових, додатних та від'ємних елементів ${\displaystyle \ \lambda _{i}}$ в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.

Означені дійсні квадратичні форми

Квадратична форма ${\displaystyle \ Q(x)}$ над полем дійсних чисел називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо ${\displaystyle \forall x\neq 0:\;\;Q(x)>0\quad (Q(x)<0).}$

Одним із важливих результатів про додатноозначені і від'ємноозначені матриці є критерій Сильвестра:

• Квадратична форма є додатноозначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
• Квадратичная форма є від'ємноозначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Квадратичні форми // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 63. — 594 с.