Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Множина́ Віта́лі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував 1905 року італійський математик Джузепе Віталі.
1902 року Анрі Лебег у своїх лекціях «Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives», сформулював теорію міри і гадав, що вона може бути застосована до довільної обмеженої множини. Але поява контрприкладів розвіяла ці сподівання. Побудова таких невимірних множин завжди спирається на аксіому вибору.
Введемо відношення еквівалентності на відрізку :
Виберемо із кожного класу еквівалентності по одному елементу (тут ми користуємося аксіомою вибору), отримана множина буде невимірною.
Справді, якщо зсунути множину зліченну кількість разів на всі раціональні числа з відрізка , то об'єднання таких множин буде включати весь відрізок і саме буде включене у відрізок .
Припустимо, що множина має міру Лебега. Тоді можливі 2 випадки:
В обох випадках приходимо до суперечності. Отже, множина Віталі не має міри Лебега.
Справді, якщо зсунути цю множину зліченну кількість раз, то вона заповнить весь відрізок: .
Отже, внаслідок зліченної адитивності міри Лебега .
Якби у побудованої множини була міра, то вона мала б бути не менше нуля.
Нехай , при цьому всі — рівні один одному внаслідок інваріантності міри Лебега. Тоді внаслідок зліченної адитивності міри Лебега , що неможливо, оскільки .
Тоді нехай . Але це також неможливо, оскільки в такому випадку , що суперечить визначенню міри Лебега, бо для відрізка ця міра дорівнює за визначенням міри Лебега.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.