Лема Морса

Лема Морса — твердження, яке описує будову ростка гладкої дійсної функції у невиродженій критичній точці. Названа на честь видатного американського математика Марстона Морса.

Нехай ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ — функція класу ${\displaystyle \,C^{r+2}}$, де ${\displaystyle r\geq 1}$, що має точку ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$ своєю невиродженою критичною точкою, тобто в цій точці диференціал ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ овертається в нуль, а матриця Гессе ${\displaystyle {\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}}$ відмінна від нуля. Тоді в деякому околі ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle 0}$ існує така система ${\displaystyle \,C^{r}}$-гладких локальних координат (карта) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ з початком у точці ${\displaystyle 0}$, що для всіх ${\displaystyle x\in U}$ має місце рівність ${\displaystyle f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}$.

При цьому число ${\displaystyle k}$, що визначається сигнатурою квадратичної частини ростка ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle 0}$, є індексом Морса критичної точки ${\displaystyle 0}$ функції ${\displaystyle f}$.

Доведення

Линійна частина функції ${\displaystyle \,f(x)}$ в точці ${\displaystyle 0}$ рівна нулю, а квадратична частина невирождена. Зробимо лінійну заміну змінних ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$, що зводить квадратичну частину до канонічного вигляду ${\displaystyle x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}$.

Потім, двічі застосовуючи лему Адамара, представимо ${\displaystyle \,f(x)}$ у вигляді

${\displaystyle f(x)=f(0)-x_{1}^{2}(1+h_{1}(x))-\dots -x_{k}^{2}(1+h_{k}(x))+x_{k+1}^{2}(1+h_{k+1}(x))+\dots +x_{n}^{2}(1+h_{n}(x))}$,

де всі ${\displaystyle \,h_{i}(x)}$ — функциї класу ${\displaystyle \,C^{r}}$, що обертаються в нуль в точці ${\displaystyle 0}$. Заміна змінних ${\displaystyle x_{i}\to x_{i}{\sqrt {1+h_{i}(x)}}}$, що визначена у деякому околі точки ${\displaystyle 0}$, приводить ${\displaystyle \,f(x)}$ до необхідної форми.

Варіації та узагальнення

• Теорема Тужрона.

В околі критичної точки ${\displaystyle 0}$ скінченної кратності ${\displaystyle \mu }$ існує система координат, в якій гладка функція ${\displaystyle f(x)}$ має вигляд многочлена ${\displaystyle P_{\mu +1}(x)}$ ступеня ${\displaystyle \mu +1}$ (як ${\displaystyle P_{\mu +1}(x)}$ можна взяти многочлен Тейлора функції ${\displaystyle f(x)}$ у точці ${\displaystyle 0}$ у вихідних координатах). У разі невиродженої критичної точки кратність ${\displaystyle \mu =1}$, і теорема Тужрона перетворюється на лему Морса.

• Лема Морса з параметрами або лема про розщеплення особливості.

Нехай ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} }$ — гладка функція, що має початок координат ${\displaystyle 0}$ своєю критичною точкою, невиродженою за змінними ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Тоді в околі точки ${\displaystyle 0}$ існують гладкі координати, в яких

${\displaystyle f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,}$

де ${\displaystyle \,f_{0}}$ — деяка гладка функція. Це твердження дозволяє звести дослідження особливості (критичної точки) функції від ${\displaystyle n+m}$ змінних до дослідження особливості функції від меншого числа змінних (а саме, від числа змінних, рівного корангу гессіана вихідної функції).

Література

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Будь-яке видання.
• Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Будь-яке видання.
• Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
• Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63–69.
• Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3–140.