Критерій стійкості Михайлова

Критерій стійкості Михайлова — один із способів аналізу лінійної стаціонарної динамічної системи на стійкість. Поряд з критерієм стійкості Найквіста є представником сімейства частотних критеріїв стійкості, на відміну від алгебраїчних критеріїв, таких як критерій стійкості Рауса та критерій стійкості Гурвіца.

Критерій стійкості Михайлова запропонований в 1938 р., є досить зручним для аналізу лінійних систем, особливо високого порядку. Оцінка стійкості системи за даним критерієм виконується на основі характеристики (годографа) Михайлова, яка будується таким чином.

У характеристичному рівнянні замкнутої системи

${\displaystyle D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n}}$

Замінимо ${\displaystyle p=j\omega }$ , де ω — кутова частота коливань, які відповідають уявному кореню даного характеристичного полінома.

${\displaystyle D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{j\psi (\omega )}}$

Дійсна і уявна частини полінома:

${\displaystyle X(\omega )=a_{n}-a_{n-2}\omega ^{2}+...}$

${\displaystyle Y(\omega )=a_{n-1}\omega -a_{n-3}\omega ^{3}+...}$

Формулювання критерію: для стійкості лінійної системи n-го порядку необхідно і достатньо, щоб крива Михайлова, побудована в координатах ${\displaystyle X(\omega ),Y(\omega )}$, проходила послідовно через n квадрантів.

${\displaystyle D(p)=a_{0}(p-p_{1})(p-p_{2})...(p-p_{n})}$

${\displaystyle p=j\omega \Rightarrow D(j\omega )=a_{0}(j\omega -p_{1})(j\omega -p_{2})...(j\omega -p_{n})}$

Відомі узагальнення К.с. М. на системи автоматичного регулювання з запізненням, на імпульсні системи, а також аналоги цього критерію для нелінійних САР.

Див. також

• Стійкість систем автоматичного регулювання
• Критерій стійкості Гурвіца
• Критерій стійкості Найквіста
• Критерій стійкості Попова
• Критерій стійкості Рауса

Джерела

• Михайлов А. В. «Автоматика и телемеханика», 1938, № 3, с. 27-81.
• Іванов А. О. Теорія автоматичного керування: Підручник. — Дніпропетровськ: Національний гірничий університет. — 2003. — 250 с.
• Енциклопедія кібернетики. тт. 1, 2. — К.: Головна редакція УРЕ, 1973. — 584 с.
• Эльсгольц Л. Э., Математические основы теории управляемых систем, М., 1969.
• Блакьер О., Анализ нелинейных систем, пер. с англ., М., 1969.
• Кубрак А. І. Комп'ютерне моделювання та ідентифікація автоматичних систем, Київ «Політехніка» 2004.

Посилання

• Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985. [Архівовано 29 березня 2013 у Wayback Machine.]