Критерій стійкості Рауса

Крите́рій сті́йкості Ра́уса — один з методів аналізу лінійної стаціонарної динамічної системи на стійкість. Поряд з критерієм Гурвиця (який часто називають критерієм Рауса-Гурвиця) є представником сімейства алгебраїчних критеріїв стійкості, на відміну від частотних критеріїв, таких як критерій стійкості Найквіста. До переваг методу відносяться проста реалізація на ЕОМ, а також простота аналізу для систем невеликого (до 3) порядку.

До недоліків можна віднести ненаглядність методу, по ньому складно судити про ступінь стійкості, про її запас.

Формулювання

Метод працює з коефіцієнтами характеристичного рівняння системи. Нехай ${\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}$ — передавальна функція системи, а ${\displaystyle \ U(s)=0}$ — характеристичне рівняння системи. Уявимо характеристичний поліном ${\displaystyle \ U(s)}$ у вигляді: ${\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}}$ Критерій Рауса являє собою алгоритм, за яким складається спеціальна таблиця, в якій записуються коефіцієнти характеристичного полінома таким чином, що:

1. в першому рядку записуються коефіцієнти характеристичного рівняння з парними індексами в порядку їх зростання
2. у другому рядку — з непарними
3. інші елементи таблиці визначається за формулою: ${\displaystyle \ c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_{i}\cdot c_{k+1,i-1}}$, де ${\displaystyle r_{i}={\frac {c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}}},i\geq 3}$ — номер рядка, ${\displaystyle \ k}$ — номер стовпчика
4. число рядків таблиці Рауса на одиницю більше порядку характеристичного рівняння

Таблиця Рауса:

${\displaystyle \ ri}$	${\displaystyle \Downarrow i\Longrightarrow k}$	1	2	3	4
-	1	${\displaystyle \ c_{1,1}=a_{0}}$	${\displaystyle \ c_{2,1}=a_{2}}$	${\displaystyle \ c_{3,1}=a_{4}}$	...
-	2	${\displaystyle \ c_{1,2}=a_{1}}$	${\displaystyle \ c_{2,2}=a_{3}}$	${\displaystyle \ c_{3,2}=a_{5}}$	...
${\displaystyle r_{3}={\frac {c_{1,1}}{c_{1,2}}}}$	3	${\displaystyle c_{1,3}=c_{2,1}-r_{3}\cdot c_{2,2}}$	${\displaystyle c_{2,3}=c_{3,1}-r_{3}\cdot c_{3,2}}$	${\displaystyle c_{3,3}=c_{4,1}-r_{3}\cdot c_{4,2}}$	...
${\displaystyle r_{4}={\frac {c_{1,2}}{c_{1,3}}}}$	4	${\displaystyle c_{1,4}=c_{2,2}-r_{4}\cdot c_{2,3}}$	${\displaystyle c_{2,4}=c_{3,2}-r_{4}\cdot c_{3,3}}$	${\displaystyle c_{3,4}=c_{4,2}-r_{4}\cdot c_{4,3}}$	...
...	...	...	...	...	...

Формулювання критерію Рауса:

Для стійкості лінійної стаціонарної системи необхідно і достатньо, щоб коефіцієнти першого стовпчика таблиці Рауса ${\displaystyle \ c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},...}$ були одного знаку. Якщо це не виконується, то система нестійка.

Див. також

• Стійкість систем автоматичного регулювання
• Критерій стійкості Гурвиця
• Критерій стійкості Михайлова
• Критерій стійкості Найквіста
• Критерій абсолютної стійкості В.М.Попова

Література

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Іванов А. О. Теорія автоматичного керування: Підручник. — Дніпропетровськ: Національний гірничий університет. — 2003. — 250 с.
• Енциклопедія кібернетики. тт. 1, 2. — К.: Головна редакція УРЕ, 1973. — 584 с.
• Папушин Ю. Л., Білецький В. С. Основи автоматизації гірничого виробництва. — Донецьк : Східний видавничий дім, 2007. — 168 с. — ISBN 978-966-317-004-6.