Критерій стійкості Гурвіца

Критерій стійкості Гурвіца — один із способів аналізу лінійної стаціонарної динамічної системи на стійкість, розроблений німецьким математиком Адольфом Гурвіцем. Поряд з критерієм Рауса є представником сімейства алгебраїчних критеріїв стійкості, на відміну від частотних критеріїв, таких як критерій стійкості Найквіста. Перевагою методу є принципова простота, недоліком - необхідність виконання операції обчислення визначника, яка пов'язана з певними обчислювальними тонкощами (наприклад, для великих матриць може виявитися чималою обчислювальна помилка).

Формулювання

Докладніше: Матриця Гурвіца

Див. також: Визначник Гурвіца

Метод працює з коефіцієнтами характеристичного рівняння системи. Нехай ${\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}}$ — передатна функція системи, а ${\displaystyle \ U(s)=0}$ — характеристичне рівняння системи. Представимо характеристичний поліном ${\displaystyle \ U(s)}$ у вигляді

${\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}}$

Із коефіцієнтів характеристичного рівняння будується визначник Гурвіца ${\displaystyle \ n}$ по алгоритму:

1) по головній діагоналі зліва направо виставляються всі коефіцієнти характеристичного рівняння від ${\displaystyle \ a_{1}}$ до ${\displaystyle \ a_{n}}$;

2) від кожного елемента діагоналі вгору і вниз добудовуються стовпці визначника так, щоб індекси зменшувалися згори донизу;

3) на місце коефіцієнтів з індексами менше нуля або більше ${\displaystyle \ n}$ ставляться нулі.

відповідно до критерію Гурвіца:

Для того, щоб динамічна система була стійка, необхідно і достатньо, щоб усі ${\displaystyle \ n}$ діагональних мінорів визначника Гурвіца були додатні. Ці мінори називаються визначниками Гурвіца.

Аналізуючи умову критерію Гурвіца, можна помітити її надмірність. Число нерівностей можна зменшити в два рази, використовуючи теорему Льєнара-Шіпара. Втім, в обчислювальному відношенні складність критерію зменшується не суттєво, тому що при обчисленні мінору високого порядку частіше за все необхідно обчислення мінорів нижчих порядків.

Див. також

• Стійкість систем автоматичного регулювання
• Критерій стійкості Михайлова
• Критерій стійкості Найквіста
• Критерій абсолютної стійкості В.М.Попова
• Критерій стійкості Рауса
• Критерій Ліенара-Шипара^[en]

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Іванов А. О. Теорія автоматичного керування: Підручник. — Дніпропетровськ: Національний гірничий університет. — 2003. — 250 с.
• Енциклопедія кібернетики. тт. 1, 2. — К.: Головна редакція УРЕ, 1973. — 584 с.
• Папушин Ю. Л., Білецький В. С. Основи автоматизації гірничого виробництва. — Донецьк : Східний видавничий дім, 2007. — 168 с. — ISBN 978-966-317-004-6.