Ґратка — частково впорядкована множина , в якій для кожної пари елементів існує супремум та інфімум .
Ґратка розбиття множини
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle ~\{1,2,3,4\}}
«Ґратко-подібними» структурами є напівґратки, ґратки, булеві алгебри , алгебри Гейтінга .
Всіх їх можна визначити і як алгебраїчні структури , тому теорія ґраток є частиною як теорії порядку , так і універсальної алгебри .
Напівґратка — частково впорядкована множина, в якій визначена операція join (join-напівґратка ) або операція meet (meet-напівґратка ).
Бінарні операції join та meet , позначаються
∨
{\displaystyle \lor }
∧
{\displaystyle \land }
комутативними , асоціативними та ідемпотентними операціями.
Обидві операції є монотонними по відношенню до порядку, тобто:
із
a
1
⩽
a
2
{\displaystyle a_{1}\leqslant a_{2}}
b
1
⩽
b
2
{\displaystyle b_{1}\leqslant b_{2}}
(
a
1
∨
b
1
)
⩽
(
a
2
∨
b
2
)
{\displaystyle (a_{1}\lor b_{1})\leqslant (a_{2}\lor b_{2})}
(
a
1
∧
b
1
)
⩽
(
a
2
∧
b
2
)
.
{\displaystyle (a_{1}\land b_{1})\leqslant (a_{2}\land b_{2}).}
Ґратка є одночасно join-напівґраткою та meet-напівґраткою.
Операцію join також можна визначити як бінарну операцію супремум (x, y), а операцію meet — інфімум (x, y). В такому разі join-напівгратку називають верхньою піврешіткою, а meet-напівгратку відповідно нижньою.[джерело?
Тому означення:
Дистрибутивна ґраткаподільністю . Ґратка може бути визначена як алгебрична структура з двома бінарними операціями (позначаються
∨
{\displaystyle \lor }
∧
{\displaystyle \land }
[2]
a
∨
b
=
b
∨
a
,
{\displaystyle a\lor b=b\lor a,}
a
∧
b
=
b
∧
a
{\displaystyle a\land b=b\land a}
(комутативність )
a
∨
(
b
∨
c
)
=
(
a
∨
b
)
∨
c
,
{\displaystyle a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c,}
a
∧
(
b
∧
c
)
=
(
a
∧
b
)
∧
c
{\displaystyle a\land (b\land c)=(a\land b)\land c}
(асоціативність )
(
a
∨
b
)
∧
b
=
b
,
{\displaystyle (a\lor b)\land b=b,}
(
a
∧
b
)
∨
b
=
b
{\displaystyle (a\land b)\lor b=b}
(закон поглинання )
Із закону поглинання слідує не тільки:
a
∨
a
=
a
,
a
∧
a
=
a
{\displaystyle a\lor a=a,\qquad a\land a=a}
ідемпотентність )але і показується дуальність операцій
∨
{\displaystyle \lor }
∧
{\displaystyle \land }
супремума та інфімума .
δ
{\displaystyle \delta }
— упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних і обмежених зліченних підмножин[3]
σ
{\displaystyle \sigma }
— упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних зліченних підмножин.
Обмежена ґратка — ґратка, в якій існує найбільший та найменший елемент , позначаються
1
{\displaystyle ~1}
0
{\displaystyle ~0}
1
{\displaystyle ~1}
0
{\displaystyle ~0}
Очевидно, що всі скінченні ґратки є обмеженими.
Доповнена ґратка — обмежена ґратка, в якій для кожного елемента a існує доповнення , тобто елемент b такий, що:
a
∨
b
=
1
,
a
∧
b
=
0.
{\displaystyle a\lor b=1,\qquad a\land b=0.}
Дистрибутивна ґратка — ґратка, що задовольняє властивість:
a
∨
(
b
∧
c
)
=
(
a
∨
b
)
∧
(
a
∨
c
)
,
a
∧
(
b
∨
c
)
=
(
a
∧
b
)
∨
(
a
∧
c
)
{\displaystyle a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c),\qquad a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)}
дистрибутивність )Булева алгебра — доповнена дистрибутивна ґратка.
Дистрибутивна напівґратка
Напівґратка теж може бути дистрибутивною: meet-напівґратка є дистрибутивною, якщо для всіх a , b , та x :
Якщо a ∧ b ≤ x тоді існують a' та b' такі, що a ≤ a' , b ≤ b' та x = a' ∧ b' . Модулярна ґратка — для довільного
x
⩽
b
{\displaystyle ~x\leqslant b}
x
∨
(
a
∧
b
)
=
(
x
∨
a
)
∧
b
.
{\displaystyle x\lor (a\land b)=(x\lor a)\land b.}
Для довільного
x
⩽
b
{\displaystyle ~x\leqslant b}
x
∨
(
a
∧
b
)
⩽
(
x
∨
a
)
∧
b
,
{\displaystyle x\lor (a\land b)\leqslant (x\lor a)\land b,}
це доводиться обчисленням виразу при
x
⩽
(
a
∧
b
)
{\displaystyle x\leqslant (a\land b)}
x
⩽̸
(
a
∧
b
)
{\displaystyle x\not \leqslant (a\land b)}
Діаграма впорядкування за включенням підмножин множини з трьох елементів. множина всіх підмножин даної множини, впорядкована за включенням;
sup
{
{
x
}
,
{
x
,
y
}
}
=
{
x
,
y
}
,
inf
{
{
x
}
,
{
x
,
y
}
}
=
{
x
}
,
s
u
p
{
{
x
}
,
{
y
,
z
}
}
=
{
x
,
y
,
z
}
,
inf
{
{
x
}
,
{
y
,
z
}
}
=
∅
{\displaystyle \sup\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x,y\},\inf\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x\},sup\{\{x\},\{y,z\}\}=\{x,y,z\},\inf\{\{x\},\{y,z\}\}=\emptyset }
будь-яка лінійно впорядкована множина ; причому якщо
a
⩽
b
{\displaystyle a\leqslant b}
sup
(
a
,
b
)
=
b
,
inf
(
a
,
b
)
=
a
{\displaystyle \sup(a,b)=b,\inf(a,b)=a}
множина всіх підпросторів векторного простору , упорядкованих за включенням, де
inf
{\displaystyle \inf }
— перетин, а
sup
{\displaystyle \sup }
— сума відповідних підпросторів;
множина всіх невід'ємних цілих чисел , упорядкованих за подільністю:
a
⩽
b
{\displaystyle a\leqslant b}
b
=
a
c
{\displaystyle b=ac}
c
{\displaystyle c}
sup
{\displaystyle \sup }
— найменше спільне кратне , а
inf
{\displaystyle \inf }
— найбільший спільний дільник даних чисел;
дійсні функції , визначені на проміжку [0, 1], впорядковані умовою
f
⩽
g
{\displaystyle f\leqslant g}
f
(
t
)
⩽
g
(
t
)
{\displaystyle f(t)\leqslant g(t)}
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]}
sup
(
f
,
g
)
=
u
{\displaystyle \sup(f,g)=u}
u
(
t
)
=
max
(
f
(
t
)
,
g
(
t
)
)
{\displaystyle u(t)=\max(f(t),g(t))}
На ґратці також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та задовільняє умовам:
Зв'язок між різними визначеннями встановлюється формулами:
a ∨ b = sup{a , b }, a ∧ b = inf{a , b }.Та виконанням умови: якщо a ≤ b , то: a ∧ b = a , a ∨ b = b .
Юрачківський А. П. Начала функціонального аналізу і теорії інтеграла. — К., 2012. — 243 с.
Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), group Lattice-ordered group , Математична енциклопедія Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 Weisstein, Eric W. Lattice (англ.) на сайті Wolfram MathWorld . Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука , 1984. — 568 с.(рос.) Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970.Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1982. — 456 с. 
![{\displaystyle t\in [0,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
