Рефлексивне відношення

В математиці, бінарне відношення R на множині X є рефлексивним якщо для кожного a ∈ X виконується aRa, тобто

${\displaystyle \forall a\in X:\ aRa}$

Властивості бінарних відношень:
${\displaystyle \forall a,b,c\;\in {X}:}$

рефлексивність ${\displaystyle (aRa)\!}$
антирефлексивність ${\displaystyle \lnot (aRa)\!}$

симетричність ${\displaystyle aRb\Rightarrow bRa\!}$
асиметричність ${\displaystyle aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)}$

антисиметричність ${\displaystyle aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b}$

транзитивність ${\displaystyle aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc}$
антитранзитивність ${\displaystyle aRb\wedge bRc\Rightarrow \lnot (aRc)}$

повнота ${\displaystyle aRb\vee bRa\!}$

Властивість рефлексивності:

• матриця рефлексивного відношення характеризується тим, що всі елементи головної діагоналі рівні 1;
• граф — тим, що кожна вершина має петлю — дугу (х, х).

Якщо ця умова не виконана ні для якого з елементів множини ${\displaystyle X}$, тоді відношення ${\displaystyle R}$ називається антирефлексивним (або іррефлексивним).

Для антирефлексивного відношення:

• в матриці всі елементи головної діагоналі дорівнюють нулю
• граф такого відношення характеризується тим, що не має жодної петлі — немає дуг вигляду (х, х).

Формально антирефлексивність відношення ${\displaystyle R}$ визначається як:

${\displaystyle \forall a\in X:\ \neg (aRa)}$.

Якщо умова рефлексивності виконана не для всіх елементів множини ${\displaystyle X}$, тоді кажуть, що відношення ${\displaystyle R}$ нерефлексивне.

Приклади рефлексивних відношень

• ${\displaystyle =\!}$ "дорівнює"
• ${\displaystyle \leq \!}$ "менше або дорівнює"
• ${\displaystyle \geq \!}$ "більше або дорівнює"
• ${\displaystyle \subseteq \!}$ "є підмножиною або дорівнює"

Приклади відношень, що не є рефлексивними

• ${\displaystyle \neq \!}$ "не дорівнює"
• ${\displaystyle <\!}$ "менше"
• ${\displaystyle >\!}$ "більше"
• ${\displaystyle \subset \!}$ "є підмножиною"

Див. також

• Корефлексивне відношення

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ(інші мови), 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)