Ідеальна точка

Невласна точка, ідеальна точка, омега-точка або нескінченно віддалена точка^[1] — це цілком визначена^[en] точка поза гіперболічною площиною або простором. Якщо дано пряму l і точку P поза l, то прямі, що проходять через P, праворуч і ліворуч паралельні в границі до прямої l, збігаються до l в ідеальних точках.

Ця стаття про ідеальну точку в гіперболічній геометрії. Про подібні точки в інших геометріях див. Точка на нескінченності.

Три ідеальних трикутники в конформно-евклідовій моделі, вершини є ідеальними точками

На відміну від проєктивного випадку, ідеальні точки утворюють межу, а не підмноговид. Таким чином, ці прямі не перетинаються в ідеальній точці, і такі точки, хоча вони й цілком визначені, не належать самому гіперболічному простору.

Ідеальні точки разом утворюють абсолют Келі^[en] або межу гіперболічної геометрії. Наприклад, одиничне коло утворює абсолют Келі дискової моделі Пуанкаре і дискової моделі Кляйна. Разом з тим, дійсна пряма утворює абсолют моделі півплощини^[2].

Аксіома Паша і теорема про зовнішній кут трикутника виконуються для омега-трикутника, який визначається двома точками гіперболічного простору і омега-точкою^[3].

Властивості

• Гіперболічна відстань між ідеальними точками і будь-якою іншою точкою або іншою точкою дорівнює нескінченності.
• Центри орициклів і орисфер є ідеальними точками. Два орицикли концентричні, коли вони мають один і той самий центр.

Многокутники з ідеальними вершинами

Ідеальні трикутники

Якщо всі вершини трикутника є ідеальними точками, трикутник є ідеальним трикутником.

Ідеальні трикутники мають кілька цікавих властивостей:

• Всі ідеальні трикутники конгруентні.
• Внутрішні кути ідеального трикутника всі дорівнюють нулю.
• Будь-який ідеальний трикутник має нескінченний периметр.
• Будь-який ідеальний трикутник має площу ${\displaystyle \pi /(-K)}$, де ${\displaystyle K}$ дорівнює (від'ємній) кривині площини^[4].

Ідеальні чотирикутники

Якщо всі вершини чотирикутника — ідеальні точки, то чотирикутник є ідеальним чотирикутником.

Тоді як усі ідеальні трикутники конгруентні, не всі ідеальні чотирикутники конгруентні, діагоналі можуть перетинатися під різними кутами, що призводить до неконгруентності чотирикутників, при цьому:

• Внутрішні кути ідеального чотирикутника всі дорівнюють нулю.
• Будь-який ідеальний чотирикутник має нескінченний периметр.
• Будь-який ідеальний (опуклий без перетинів) чотирикутник має площу ${\displaystyle 2\pi /(-K)}$, де K дорівнює (від'ємній) кривині площини.

Ідеальний квадрат

Ідеальний чотирикутник, у якого дві діагоналі перпендикулярні, утворює ідеальний квадрат.

Ідеальний квадрат використовував Фердинанд Карл Швайкарт^[ru] у його меморандумі, в якому він згадує «астральну геометрію». Це була одна з перших публікацій, що допускають можливість гіперболічної геометрії^[5].

Ідеальні n-кутники

n-кутник можна розділити на (n − 2) ідеальних трикутників, і площа многокутника дорівнює площі ідеального трикутника, помноженій на (n − 2).

Подання в моделях гіперболічної геометрії

У дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре гіперболічної площини ідеальними точками є одиничні кола (для гіперболічної площини) або одиничні сфери (для просторів вищої розмірності), які є недосяжною межею гіперболічного простору.

Одна і та ж гіперболічна пряма в дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре буде проходити через ті ж дві ідеальні точки.

Дискова модель Клейна

Якщо дано дві різні точки ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ у відкритому одиничному диску, єдина пряма, що з'єднує їх, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ (вважається, що точки йдуть в порядку ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle b}$), так що ${\displaystyle \left|aq\right|>\left|ap\right|}$ і ${\displaystyle \left|pb\right|>\left|qb\right|}$. Тоді гіперболічна відстань між ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ виражається формулою

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}}.}$

Дискова модель Пуанкаре

Якщо задано дві різні точки ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ у відкритому одиничному диску, то єдина дуга кола, яка ортогональна межі і з'єднує точки, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ (вважається, що точки йдуть у порядку ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle b}$), так що ${\displaystyle \left|aq\right|>\left|ap\right|}$ і ${\displaystyle \left|pb\right|>\left|qb\right|}$. Тоді гіперболічна відстань між ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ виражається формулою

${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}}}$

Тут відстань вимірюється вздовж (прямих) відрізків ${\displaystyle aq}$, ${\displaystyle ap}$, ${\displaystyle pb}$, ${\displaystyle qb}$.

Модель півплощини Пуанкаре

Докладніше: Модель Пуанкаре у верхній півплощині

У моделі півплощини ідеальні точки — це точки на граничній осі. Існує також інша ідеальна точка, яка не належить моделі півплощини (але промені, паралельні до додатної півосі ${\displaystyle y}$, наближаються до неї).

Гіперболоїдна модель

У гіперболоїдній моделі немає ніяких невласних точок.

Див. також

• Ідеальний трикутник
• Нескінченно віддалена точка в інших геометріях.

Примітки

1. Комацу, 1981, с. 103-104.
2. Struve, Struve, 2010, с. 151–170.
3. Hvidsten, 2005, с. 276–283.
4. Thurston, 2012.
5. Bonola, 1955, с. 75–77.

Література

• Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. — М. : Знание, 1981.
• Thomas Q. Sibley. The geometric viewpoint : a survey of geometries. — Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1998. — С. 109. — ISBN 0-201-87450-4. Архівовано з джерела 7 вересня 2019
• Horst Struve, Rolf Struve. Non-euclidean geometries: the Cayley-Klein approach // Journal of Geometry. — 2010. — Т. 89, вип. 1 (10 листопада). — ISSN 0047-2468. — DOI:10.1007/s00022-010-0053-z.
• Michael Hvidsten. Geometry with Geometry Explorer. — New York, NY, 2005. — ISBN 0-07-312990-9.
• Roberto Bonola. Non-Euclidean geometry : a critical and historical study of its developments. — New York, NY : Dover, 1955. — С. 75–77. — ISBN 0486600270.
• Dylan. 274 Curves on Surfaces, Lecture 5. — 2012. — 10 листопада. Архівовано з джерела 9 січня 2022. Процитовано 23 липня 2013.