Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
L-функція Діріхле — комплекснозначна функція, задана для (для у випадку головного характера) формулою
де — деякий характер Діріхле (по модулю k). -функції Діріхле були введені для доведення теореми Діріхле про прості числа в арифметичних прогресіях, де, зокрема використовується нерівність для усіх неголовних характерів.
Для неголовних характерів існує аналітичне продовження до цілої функції. Для головного характера за модулем k існує аналітичне продовження до мероморфної функції, що має простий полюс із лишком , де — функція Ейлера.
Зважаючи на мультиплікативність характера Діріхле для -функції Діріхле в області виконується розклад у добуток по простих числах]:
Ця формула відіграє важливу роль у застосуваннях -функцій у теорії простих чисел.
Нехай χ — примітивний характер модуля k. Позначимо
де Γ — гамма-функція, а символ a заданий як
Тоді виконується функційне рівняння
Тут τ(χ) позначає суми Гаусса
Зауважимо, що |τ(χ)| = k1/2.
-функція Діріхле, для головного характера по модулю k, пов'язана з дзета-функцією Рімана формулою
Ця формула дозволяє довизначити для області з простим полюсом в точці .
L-можуть бути подані як лінійні комбінації дзета-функцій Гурвіца у раціональних точках. Для цілого числа k ≥ 1, L-функції для характерів по модулю k є лінійними комбінаціями, зі сталими коефіцієнтами, функцій ζ(s,q) де q = m/k і m = 1, 2, …, k. Тому дзета-функція Гурвіца для раціональних q має властивості близькі до L-функцій. Конкретно, якщо χ — характер Діріхле по модулю k то його L-функція Діріхле є рівною
Зокрема для головного характера одержується рівність для дзета функції Рімана:
Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = 1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні парні цілі числа. Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = −1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні непарні цілі числа.
Для загального характеру існує примітивний характер , що породжує . Тоді виконується рівність . Тому парні і непарні від'ємні цілі числа теж будуть коренями залежно від знаку . Але додатково коренями з Re(s) < 0 будуть точки в яких добуток позначений знаком добутку у формулі є рівним нулю.
Всі ці корені називаються тривіальними коренями L-функції Діріхле. Всі інші корені називаються нетривіальними. Відомо, що для , тому всі нетривіальні корені L-функції знаходяться у смузі . Вивчення розподілу нетривіальних нулів є важливою проблемою теорії чисел.
Кожна L-функція Діріхле має нескінченну кількість нетривіальних нулів. Згідно з узагальненої гіпотези Рімана усі вони лежать на прямій .
Існує константа , така що для всіх комплексних характерів модуля k якщо , то
Для дійсних характерів у цьому випадку відомо, що у області заданій цією нерівністю може бути щонайбільше 1 корінь, який може бути лише дійсним числом.
Інші обмеження можна ввести для L-функцій по заданому модулю. Якщо для характера по модулю k то
де — константа, що залежить від .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.