Полюс (комплексний аналіз)

Ізольована особлива точка ${\displaystyle z_{0}}$ називається полюсом функції ${\displaystyle f(z)}$, якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколотому околі точки ${\displaystyle z_{0}}$ головна частина містить скінчене число відмінних від нуля членів, тобто

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}}$, де ${\displaystyle P(z)}$ - правильна частина ряду Лорана.

Графік показує абсолютну величину гамма-функції. Видно, що функція стає нескінченою в полюсах ліворуч. Праворуч гамма-функція не має полюсів, вона просто швидко зростає

Якщо ${\displaystyle f_{-n}\neq \ 0}$, то ${\displaystyle z_{0}}$ називається полюсом порядку ${\displaystyle n}$. Якщо ${\displaystyle n=1}$, то полюс називається простим.

Критерії визначення полюса

1. Точка ${\displaystyle z_{0}}$ є полюсом тоді, і тільки тоді, коли ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty }$.
2. Точка ${\displaystyle z_{0}}$ є полюсом порядку ${\displaystyle k}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty }$, а ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty }$.
3. Точка ${\displaystyle z_{0}}$ є полюсом порядку ${\displaystyle k}$ тоді і тільки тоді, коли вона є для функції ${\displaystyle F(z)={\frac {1}{f(z)}}}$ нулем порядку ${\displaystyle k}$.

Див. також

• Нуль (комплексний аналіз)