j-інваріант Кляйна або j-функція Кляйна — функція комплексної змінної τ, що є модулярною функцією для групи SL(2, Z) визначеною на верхній комплексній півплощині. Вона є єдиною такою голоморфною на півплощині функцією, що має простий полюс в каспі на безмежності й значення j ( e 2 3 π i ) = 0 , j ( i ) = 1728. {\displaystyle j\left(e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right)=0,\quad j(i)=1728.} j-інваріант Раціональні функції від j теж є модулярними функціями й всі модулярні функції можуть бути записані в такий спосіб. Історично j-інваріант вивчався як параметризація еліптичних кривих над полем C, але також він має несподіваний зв'язок з симетріями групи Монстр. ОзначенняУзагальнитиПерспектива Мотивацією для означення j-інваріанта є вивчення класів ізоморфності еліптичних кривих. Кожна еліптична крива E над полем C є комплексним тором і тому її можна ідентифікувати з ґраткою порядку 2, тобто двовимірною ґраткою в C. Як виявляється множення ґратки на комплексне число, що відповідає повороту і розтягуванню ґратки, не змінює клас ізоморфності еліптичних кривих і тому можна розглядати лише ґратки породжені 1 і деяким τ в H (де H — верхня комплексна півплощина). Навпаки, якщо визначити g 2 = 60 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m + n τ ) − 4 , g 3 = 140 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m + n τ ) − 6 , {\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},\\g_{3}&=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6},\end{aligned}}} то ця ґратка визначає еліптичну криву над C задану рівнянням y2 = 4x3 − g2x - g3. j-інваріант за означенням рівний j ( τ ) = 1728 g 2 3 Δ {\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{\Delta }}} де модулярний дискримінант Δ рівний Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}} Δ є модулярною формою ваги, g2 — модулярною формою ваги 4, тож її 3-й степінь теж є модулярною формою ваги 12. Тому їх частка, а відповідно і функція j, є модулярною функцією інваріантною щодо дії групи SL(2, Z). j є бієкцією між класами ізоморфності еліптичних кривих над C і комплексними числами. Фундаментальний регіонУзагальнитиПерспектива Фундаментальний регіон модулярної групи на верхній півплощині. Перетворення τ → τ + 1 і τ → -τ−1 разом породжують групу, що називається модулярною групою. Вибравши необхідне перетворення з цієї групи, τ ↦ a τ + b c τ + d , a d − b c = 1 , {\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,} для будь-якого τ можна знайти значення змінної з тим самим значенням функції j, що лежить в фундаментальному регіоні для j, тобто підмножини комплексних чисел, що задовольняють умови: | τ | ≥ 1 − 1 2 < R ( τ ) ≤ 1 2 − 1 2 < R ( τ ) < 0 ⇒ | τ | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}} Функція j(τ) на цьому регіоні приймає кожне значення з C точно один раз. Тобто для кожного c в C, є єдине число τ в фундаментальному регіоні для якого c = j(τ). Як поверхня Рімана, фундаментальний регіон має рід 0, і всі множина модулярних функцій рівна множині раціональних функцій від j(τ) тобто C(j). Ряди Фур'єУзагальнитиПерспектива Багато важливих властивостей j пов'язані з q-розкладом (рядом Фур'є), тобто розкладом в ряд Лорана щодо змінної q = exp(2πiτ), що починається як: j ( τ ) = 1 q + 744 + 196884 q + 21493760 q 2 + 864299970 q 3 + 20245856256 q 4 + ⋯ {\displaystyle j(\tau )={1 \over q}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots } Зокрема звідси видно, що оскільки j має простий полюс в каспі, то q-розклад не має членів степенів нижчих, ніж q−1. Асимптотично коефіцієнти біля qn рівні e 4 π n 2 n 3 / 4 {\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}n^{3/4}}}} , що випливає з використання методу Харді — Літлвуда.[1][2] Альтернативні означенняУзагальнитиПерспектива Справедливою є формула j ( τ ) = 256 ( 1 − x ) 3 x 2 {\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-x)^{3}}{x^{2}}}} де x = λ(1−λ) і λ є модулярною ламбда-функцією λ ( τ ) = θ 2 4 ( 0 , τ ) θ 3 4 ( 0 , τ ) = k 2 ( τ ) {\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=k^{2}(\tau )} часткою тета-функцій Якобі θ m {\displaystyle \theta _{m}} , і квадратом еліптичного модуля k ( τ ) {\displaystyle k(\tau )} .[3] Значення j не змінюється коли λ замінити на якісь значення з множини:[4] { λ , 1 1 − λ , λ − 1 λ , 1 λ , λ λ − 1 , 1 − λ } {\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace } Означення за допомогою ета-функційУзагальнитиПерспектива Нехай q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }} і тета-функція Якобі визначена як ϑ ( 0 ; τ ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( e π i τ ) n 2 = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 {\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}} і подібно інші тета-функції Якобі. Нехай: a = θ 2 ( 0 ; q ) = ϑ 10 ( 0 ; τ ) b = θ 3 ( 0 ; q ) = ϑ 00 ( 0 ; τ ) c = θ 4 ( 0 ; q ) = ϑ 01 ( 0 ; τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}} Тоді a 4 − b 4 + c 4 = 0 {\displaystyle a^{4}-b^{4}+c^{4}=0} і можна записати g 2 ( τ ) = 2 3 π 4 ( a 8 + b 8 + c 8 ) g 3 ( τ ) = 4 27 π 6 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 − 54 ( a b c ) 8 2 Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 = ( 2 π ) 12 ( 1 2 a b c ) 8 = ( 2 π ) 12 η ( τ ) 24 {\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\\Delta &=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}\end{aligned}}} де η(τ) — ета функція Дедекінда. Тоді j(τ) можна записати у формі зручній для обчислень через швидку збіжність: j ( τ ) = 1728 g 2 3 g 2 3 − 27 g 3 2 = 32 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 ( a b c ) 8 {\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3} \over (abc)^{8}}} Алгебраїчне означення[5]УзагальнитиПерспектива Вище j означалася як функція комплексної змінної. Проте як інваріант класів ізоморфності еліптичних кривих, її можна визначити алгебраїчно. Нехай y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}} є еліптичною кривою над довільним полем. Позначимо b 2 = a 1 2 + 4 a 2 , b 4 = a 1 a 3 + 2 a 4 {\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}} b 6 = a 3 2 + 4 a 6 , b 8 = a 1 2 a 6 − a 1 a 3 a 4 + a 2 a 3 2 + 4 a 2 a 6 − a 4 2 {\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2}} c 4 = b 2 2 − 24 b 4 , c 6 = − b 2 3 + 36 b 2 b 4 − 216 b 6 {\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}} і Δ = − b 2 2 b 8 + 9 b 2 b 4 b 6 − 8 b 4 3 − 27 b 6 2 {\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}} позначення для дискримінпіпіанта j = c 4 3 Δ {\displaystyle j={c_{4}^{3} \over \Delta }} Якщо поле над яким визначена крива має характеристику не рівну 2 чи 3,означення можна переписати як j = 1728 c 4 3 c 4 3 − c 6 2 {\displaystyle j=1728{c_{4}^{3} \over c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}} Окремі значенняУзагальнитиПерспектива Нижче наведені значення в окремих точках функції J ( τ ) ≡ j ( τ ) / 1728 {\displaystyle J(\tau )\equiv j(\tau )/1728} J ( i ) = J ( 1 + i 2 ) = 1 J ( 2 i ) = ( 5 3 ) 3 J ( 2 i ) = ( 11 2 ) 3 J ( 2 2 i ) = 125 216 ( 19 + 13 2 ) 3 J ( 4 i ) = 1 64 ( 724 + 513 2 ) 3 J ( 1 + 2 i 2 ) = 1 64 ( 724 − 513 2 ) 3 J ( 1 + 2 2 i 3 ) = 125 216 ( 19 − 13 2 ) 3 J ( 3 i ) = 1 27 ( 2 + 3 ) 2 ( 21 + 20 3 ) 3 J ( 2 3 i ) = 125 16 ( 30 + 17 3 ) 3 J ( 1 + 7 3 i 2 ) = − 64000 7 ( 651 + 142 21 ) 3 J ( 1 + 3 11 i 10 ) = 64 27 ( 23 − 4 33 ) 2 ( − 77 + 15 33 ) 3 J ( 21 i ) = 1 32 ( 5 + 3 3 ) 2 ( 3 + 7 ) 2 ( 65 + 34 3 + 26 7 + 15 21 ) 3 J ( 30 i 1 ) = 1 16 ( 10 + 7 2 + 4 5 + 3 10 ) 4 ( 55 + 30 2 + 12 5 + 10 10 ) 3 J ( 30 i 2 ) = 1 16 ( 10 + 7 2 − 4 5 − 3 10 ) 4 ( 55 + 30 2 − 12 5 − 10 10 ) 3 J ( 30 i 5 ) = 1 16 ( 10 − 7 2 + 4 5 − 3 10 ) 4 ( 55 − 30 2 + 12 5 − 10 10 ) 3 J ( 30 i 10 ) = 1 16 ( 10 − 7 2 − 4 5 + 3 10 ) 4 ( 55 − 30 2 − 12 5 + 10 10 ) 3 J ( 1 + 31 i 2 ) = ( 1 − ( 1 + 19 2 ( 13 − 93 13 + 93 ⋅ 31 + 27 31 − 27 3 + 13 + 93 13 − 93 ⋅ 31 − 27 31 + 27 3 ) ) 2 ) 3 J ( 70 i ) = ( 1 + 9 4 ( 303 + 220 2 + 139 5 + 96 10 ) 2 ) 3 J ( 7 i ) = ( 1 + 9 4 21 + 8 7 ( 30 + 11 7 + ( 6 + 7 ) 21 + 8 7 ) 2 ) 3 J ( 8 i ) = ( 1 + 9 4 2 4 ( 1 + 2 ) ( 123 + 104 2 4 + 88 2 + 73 8 4 ) 2 ) 3 J ( 10 i ) = ( 1 + 9 8 ( 2402 + 1607 5 4 + 1074 25 4 + 719 125 4 ) 2 ) 3 J ( 5 i 2 ) = ( 1 + 9 8 ( 2402 − 1607 5 4 + 1074 25 4 − 719 125 4 ) 2 ) 3 J ( 2 58 i ) = ( 1 + 9 256 ( 1 + 2 ) 5 ( 5 + 29 ) 5 ( 793 + 907 2 + 237 29 + 103 58 ) 2 ) 3 J ( 1 + 1435 i 2 ) = ( 1 − 9 ( 9892538 + 4424079 5 + 1544955 41 + 690925 205 ) 2 ) 3 J ( 1 + 1555 i 2 ) = ( 1 − 9 ( 22297077 + 9971556 5 + ( 3571365 + 1597163 5 ) 31 + 21 5 2 ) 2 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&=\left({\tfrac {5}{3}}\right)^{3}\\J(2i)&=\left({\tfrac {11}{2}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac {\sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\left(30+11{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}} Кілька спеціальних значень були розраховані у 2014 році:[6] J ( 5 i + 1 2 ) = ( 2927 − 1323 5 2 ) 3 , J ( 5 i ) = ( 2927 + 1323 5 2 ) 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+1}{2}}\right)&=\left({\frac {2927-1323{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{3},\\J(5i)&=\left({\frac {2927+1323{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{3},\\\end{aligned}}} для значень нижче використані позначення, a 1 , a 2 , a 3 , a 4 = 1190448488 , 858585699 , 540309076 , 374537880 b 1 , b 2 , b 3 , b 4 = 693172512 , 595746414 , 407357424 , 240819696 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}&=1190448488,858585699,540309076,374537880\\b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}&=693172512,595746414,407357424,240819696\end{aligned}}} J ( 5 i + 2 4 ) = ( ( 1 + 5 ) 37 2 39 ( a 1 − a 2 2 + a 3 5 − a 4 10 − 5 4 ( b 1 − b 2 2 + b 3 5 − b 4 10 ) ) ) 3 , J ( 10 i + 1 2 ) = ( ( 1 + 5 ) 37 2 39 ( a 1 − a 2 2 + a 3 5 − a 4 10 + 5 4 ( b 1 − b 2 2 + b 3 5 − b 4 10 ) ) ) 3 , J ( 5 i 4 ) = ( ( 1 + 5 ) 37 2 39 ( a 1 + a 2 2 + a 3 5 + a 4 10 − 5 4 ( b 1 + b 2 2 + b 3 5 + b 4 10 ) ) ) 3 , J ( 20 i ) = ( ( 1 + 5 ) 37 2 39 ( a 1 + a 2 2 + a 3 5 + a 4 10 + 5 4 ( b 1 + b 2 2 + b 3 5 + b 4 10 ) ) ) 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+2}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {10i+1}{2}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\,\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5i}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}\,{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J(20i)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}.\end{aligned}}} J ( 1 4 ( 5 i ± 1 ) ) = ( 1 − 9 8 ( ( 2402 − 1074 5 ) i ± ( 1607 − 719 5 ) 5 4 ) 2 ) 3 . {\displaystyle J\left({\tfrac {1}{4}}(5i\pm 1)\right)=\left(1-{\tfrac {9}{8}}\left((2402-1074{\sqrt {5}})i\pm (1607-719{\sqrt {5}}){\sqrt[{4}]{5}}\right)^{2}\right)^{3}.} Ще чотири спеціальні значення наведені у вигляді двох комплексно-сполучених пар:[7] J ( 4 13 ( 5 i ± 1 ) ) = ( ( 1 − 5 ) 37 2 39 ( a 1 − a 2 2 − a 3 5 + a 4 10 ± i 5 4 ( b 1 − b 2 2 − b 3 5 + b 4 10 ) ) ) 3 , J ( 5 17 ( 4 i ± 1 ) ) = ( ( 1 − 5 ) 37 2 39 ( a 1 + a 2 2 − a 3 5 − a 4 10 ± i 5 4 ( b 1 + b 2 2 − b 3 5 − b 4 10 ) ) ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {4}{13}}\left(5i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5}{17}}\left(4i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}\end{aligned}}} Див. також Еліптична крива Еліптична функція Квантовий інваріант Модулярна форма Monstrous moonshine Примітки [1]Petersson, Hans (1932). Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen. Т. 58, № 1. с. 169—215. doi:10.1007/BF02547776. MR 1555346. {{cite book}}: Проігноровано |journal= (довідка) [2]Rademacher, Hans (1938). The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ). Т. 60, № 2. The Johns Hopkins University Press. с. 501—512. doi:10.2307/2371313. JSTOR 2371313. MR 1507331. {{cite book}}: Проігноровано |journal= (довідка) [3]Chandrasekharan (1985) p.108 [4]Chandrasekharan, K. (1985), Elliptic Functions, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, т. 281, Springer-Verlag, с. 110, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001 [5]Lang, Serge (1987). Elliptic functions. Graduate Texts in Mathematics. Т. 112. New-York ect: Springer-Verlag. с. 299—300. ISBN 978-1-4612-9142-8. Zbl 0615.14018. [6]Adlaj, Semjon. Multiplication and division on elliptic curves, torsion points and roots of modular equations (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 23 жовтня 2014. Процитовано 17 жовтня 2014. [Архівовано 23 жовтня 2014 у Wayback Machine.] [7]Adlaj, Semjon (2014). Torsion points on elliptic curves and modular polynomial symmetries (PDF). The joined MSU-CCRAS Computer Algebra Seminar. Moscow, Russia. Архів оригіналу (PDF) за 23 вересня 2015. Процитовано 2 березня 2017. Література Apostol, Tom M. (1976), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 41, New York: Springer-Verlag, MR 0422157. Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (1999), Ramanujan and the modular j-invariant (PDF), Canadian Mathematical Bulletin, 42 (4): 427—440, doi:10.4153/CMB-1999-050-1, MR 1727340, архів оригіналу (PDF) за 29 вересня 2007, процитовано 25 лютого 2017 Cox, David A. (1989), Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., MR 1028322 Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), Monstrous moonshine, Bulletin of the London Mathematical Society, 11 (3): 308—339, doi:10.1112/blms/11.3.308, MR 0554399 Rankin, Robert A. (1977), Modular forms and functions, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, MR 0498390 Schneider, Theodor (1937), Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale, Math. Annalen, 113: 1—13, doi:10.1007/BF01571618, MR 1513075.Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
![{\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&=\left({\tfrac {5}{3}}\right)^{3}\\J(2i)&=\left({\tfrac {11}{2}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac {\sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\left(30+11{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bde9b84c7d6572a25b5e549ea6858459b9c85cd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+2}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {10i+1}{2}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\,\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5i}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}\,{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J(20i)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0ac426636ecb9158bbdc84f381afb429ce3ebb)
![{\displaystyle J\left({\tfrac {1}{4}}(5i\pm 1)\right)=\left(1-{\tfrac {9}{8}}\left((2402-1074{\sqrt {5}})i\pm (1607-719{\sqrt {5}}){\sqrt[{4}]{5}}\right)^{2}\right)^{3}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc72355605eca22218b6c9038992aa5e606e6b7a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {4}{13}}\left(5i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5}{17}}\left(4i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a5103de5309e48c7e7c95a7a6ed0af5287e0a0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&=\left({\tfrac {5}{3}}\right)^{3}\\J(2i)&=\left({\tfrac {11}{2}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac {\sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\left(30+11{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bde9b84c7d6572a25b5e549ea6858459b9c85cd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+2}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {10i+1}{2}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\,\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5i}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}\,{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J(20i)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}.\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0ac426636ecb9158bbdc84f381afb429ce3ebb)
![{\displaystyle J\left({\tfrac {1}{4}}(5i\pm 1)\right)=\left(1-{\tfrac {9}{8}}\left((2402-1074{\sqrt {5}})i\pm (1607-719{\sqrt {5}}){\sqrt[{4}]{5}}\right)^{2}\right)^{3}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc72355605eca22218b6c9038992aa5e606e6b7a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {4}{13}}\left(5i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5}{17}}\left(4i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a5103de5309e48c7e7c95a7a6ed0af5287e0a0)