j -інваріант Кляйна j-функція Кляйна — функція комплексної змінної τ , що є модулярною функцією для групи SL(2, Z ) визначеною на верхній комплексній півплощині . Вона є єдиною такою голоморфною на півплощині функцією, що має простий полюс в каспі на безмежності й значення
j
(
e
2
3
π
i
)
=
0
,
j
(
i
)
=
1728.
{\displaystyle j\left(e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right)=0,\quad j(i)=1728.}
j -інваріантРаціональні функції від j теж є модулярними функціями й всі модулярні функції можуть бути записані в такий спосіб. Історично j -інваріант вивчався як параметризація еліптичних кривих над полем C
Мотивацією для означення j -інваріанта є вивчення класів ізоморфності еліптичних кривих. Кожна еліптична крива E над полем C тором і тому її можна ідентифікувати з ґраткою порядку 2, тобто двовимірною ґраткою в C 1 і деяким τ в H H верхня комплексна півплощина ). Навпаки, якщо визначити
g
2
=
60
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
(
m
+
n
τ
)
−
4
,
g
3
=
140
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
(
m
+
n
τ
)
−
6
,
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},\\g_{3}&=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6},\end{aligned}}}
то ця ґратка визначає еліптичну криву над C y 2 = 4x 3 − g 2 x - g 3
j -інваріант
j
(
τ
)
=
1728
g
2
3
Δ
{\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{\Delta }}}
де модулярний дискримінант Δ рівний
Δ
=
g
2
3
−
27
g
3
2
{\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}
Δ є модулярною формою ваги, g 2 модулярною формою ваги 4, тож її 3-й степінь теж є модулярною формою ваги 12. Тому їх частка, а відповідно і функція j , є модулярною функцією інваріантною щодо дії групи SL(2, Z ) . j є бієкцією між класами ізоморфності еліптичних кривих над C
Фундаментальний регіон модулярної групи на верхній півплощині . Перетворення τ → τ + 1τ → -τ −1 модулярною групою . Вибравши необхідне перетворення з цієї групи,
τ
↦
a
τ
+
b
c
τ
+
d
,
a
d
−
b
c
=
1
,
{\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}
для будь-якого τ можна знайти значення змінної з тим самим значенням функції j , що лежить в фундаментальному регіоні для j , тобто підмножини комплексних чисел, що задовольняють умови:
|
τ
|
≥
1
−
1
2
<
R
(
τ
)
≤
1
2
−
1
2
<
R
(
τ
)
<
0
⇒
|
τ
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}
Функція j (τ )C c в C c = j (τ )
Як поверхня Рімана , фундаментальний регіон має рід 0, і всі множина модулярних функцій рівна множині раціональних функцій від j (τ )C (j )
Багато важливих властивостей j пов'язані з q -розкладом (рядом Фур'є), тобто розкладом в ряд Лорана щодо змінної q = exp(2πiτ )
j
(
τ
)
=
1
q
+
744
+
196884
q
+
21493760
q
2
+
864299970
q
3
+
20245856256
q
4
+
⋯
{\displaystyle j(\tau )={1 \over q}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots }
Зокрема звідси видно, що оскільки j має простий полюс в каспі , то q -розклад не має членів степенів нижчих, ніж q −1
Асимптотично коефіцієнти біля qn
e
4
π
n
2
n
3
/
4
{\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}n^{3/4}}}}
що випливає з використання методу Харді — Літлвуда.[1] [2]
Справедливою є формула
j
(
τ
)
=
256
(
1
−
x
)
3
x
2
{\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-x)^{3}}{x^{2}}}}
де x = λ (1−λ )λ є модулярною ламбда-функцією
λ
(
τ
)
=
θ
2
4
(
0
,
τ
)
θ
3
4
(
0
,
τ
)
=
k
2
(
τ
)
{\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=k^{2}(\tau )}
часткою тета-функцій Якобі
θ
m
{\displaystyle \theta _{m}}
k
(
τ
)
{\displaystyle k(\tau )}
[3] j не змінюється коли λ замінити на якісь значення з множини:[4]
{
λ
,
1
1
−
λ
,
λ
−
1
λ
,
1
λ
,
λ
λ
−
1
,
1
−
λ
}
{\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }
Нехай
q
=
e
π
i
τ
{\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}
тета-функція Якобі визначена як
ϑ
(
0
;
τ
)
=
ϑ
00
(
0
;
τ
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
(
e
π
i
τ
)
n
2
=
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
2
{\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}
і подібно інші тета-функції Якобі. Нехай:
a
=
θ
2
(
0
;
q
)
=
ϑ
10
(
0
;
τ
)
b
=
θ
3
(
0
;
q
)
=
ϑ
00
(
0
;
τ
)
c
=
θ
4
(
0
;
q
)
=
ϑ
01
(
0
;
τ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}
Тоді
a
4
−
b
4
+
c
4
=
0
{\displaystyle a^{4}-b^{4}+c^{4}=0}
g
2
(
τ
)
=
2
3
π
4
(
a
8
+
b
8
+
c
8
)
g
3
(
τ
)
=
4
27
π
6
(
a
8
+
b
8
+
c
8
)
3
−
54
(
a
b
c
)
8
2
Δ
=
g
2
3
−
27
g
3
2
=
(
2
π
)
12
(
1
2
a
b
c
)
8
=
(
2
π
)
12
η
(
τ
)
24
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\\Delta &=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}\end{aligned}}}
де η (τ ) — ета функція Дедекінда . Тоді j (τ ) можна записати у формі зручній для обчислень через швидку збіжність:
j
(
τ
)
=
1728
g
2
3
g
2
3
−
27
g
3
2
=
32
(
a
8
+
b
8
+
c
8
)
3
(
a
b
c
)
8
{\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3} \over (abc)^{8}}}
Нижче наведені значення в окремих точках функції
J
(
τ
)
≡
j
(
τ
)
/
1728
{\displaystyle J(\tau )\equiv j(\tau )/1728}
J
(
i
)
=
J
(
1
+
i
2
)
=
1
J
(
2
i
)
=
(
5
3
)
3
J
(
2
i
)
=
(
11
2
)
3
J
(
2
2
i
)
=
125
216
(
19
+
13
2
)
3
J
(
4
i
)
=
1
64
(
724
+
513
2
)
3
J
(
1
+
2
i
2
)
=
1
64
(
724
−
513
2
)
3
J
(
1
+
2
2
i
3
)
=
125
216
(
19
−
13
2
)
3
J
(
3
i
)
=
1
27
(
2
+
3
)
2
(
21
+
20
3
)
3
J
(
2
3
i
)
=
125
16
(
30
+
17
3
)
3
J
(
1
+
7
3
i
2
)
=
−
64000
7
(
651
+
142
21
)
3
J
(
1
+
3
11
i
10
)
=
64
27
(
23
−
4
33
)
2
(
−
77
+
15
33
)
3
J
(
21
i
)
=
1
32
(
5
+
3
3
)
2
(
3
+
7
)
2
(
65
+
34
3
+
26
7
+
15
21
)
3
J
(
30
i
1
)
=
1
16
(
10
+
7
2
+
4
5
+
3
10
)
4
(
55
+
30
2
+
12
5
+
10
10
)
3
J
(
30
i
2
)
=
1
16
(
10
+
7
2
−
4
5
−
3
10
)
4
(
55
+
30
2
−
12
5
−
10
10
)
3
J
(
30
i
5
)
=
1
16
(
10
−
7
2
+
4
5
−
3
10
)
4
(
55
−
30
2
+
12
5
−
10
10
)
3
J
(
30
i
10
)
=
1
16
(
10
−
7
2
−
4
5
+
3
10
)
4
(
55
−
30
2
−
12
5
+
10
10
)
3
J
(
1
+
31
i
2
)
=
(
1
−
(
1
+
19
2
(
13
−
93
13
+
93
⋅
31
+
27
31
−
27
3
+
13
+
93
13
−
93
⋅
31
−
27
31
+
27
3
)
)
2
)
3
J
(
70
i
)
=
(
1
+
9
4
(
303
+
220
2
+
139
5
+
96
10
)
2
)
3
J
(
7
i
)
=
(
1
+
9
4
21
+
8
7
(
30
+
11
7
+
(
6
+
7
)
21
+
8
7
)
2
)
3
J
(
8
i
)
=
(
1
+
9
4
2
4
(
1
+
2
)
(
123
+
104
2
4
+
88
2
+
73
8
4
)
2
)
3
J
(
10
i
)
=
(
1
+
9
8
(
2402
+
1607
5
4
+
1074
25
4
+
719
125
4
)
2
)
3
J
(
5
i
2
)
=
(
1
+
9
8
(
2402
−
1607
5
4
+
1074
25
4
−
719
125
4
)
2
)
3
J
(
2
58
i
)
=
(
1
+
9
256
(
1
+
2
)
5
(
5
+
29
)
5
(
793
+
907
2
+
237
29
+
103
58
)
2
)
3
J
(
1
+
1435
i
2
)
=
(
1
−
9
(
9892538
+
4424079
5
+
1544955
41
+
690925
205
)
2
)
3
J
(
1
+
1555
i
2
)
=
(
1
−
9
(
22297077
+
9971556
5
+
(
3571365
+
1597163
5
)
31
+
21
5
2
)
2
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&=\left({\tfrac {5}{3}}\right)^{3}\\J(2i)&=\left({\tfrac {11}{2}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac {\sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\left(30+11{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}
Кілька спеціальних значень були розраховані у 2014 році:[6]
J
(
5
i
+
1
2
)
=
(
2927
−
1323
5
2
)
3
,
J
(
5
i
)
=
(
2927
+
1323
5
2
)
3
,
{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+1}{2}}\right)&=\left({\frac {2927-1323{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{3},\\J(5i)&=\left({\frac {2927+1323{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{3},\\\end{aligned}}}
для значень нижче використані позначення,
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
=
1190448488
,
858585699
,
540309076
,
374537880
b
1
,
b
2
,
b
3
,
b
4
=
693172512
,
595746414
,
407357424
,
240819696
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}&=1190448488,858585699,540309076,374537880\\b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}&=693172512,595746414,407357424,240819696\end{aligned}}}
J
(
5
i
+
2
4
)
=
(
(
1
+
5
)
37
2
39
(
a
1
−
a
2
2
+
a
3
5
−
a
4
10
−
5
4
(
b
1
−
b
2
2
+
b
3
5
−
b
4
10
)
)
)
3
,
J
(
10
i
+
1
2
)
=
(
(
1
+
5
)
37
2
39
(
a
1
−
a
2
2
+
a
3
5
−
a
4
10
+
5
4
(
b
1
−
b
2
2
+
b
3
5
−
b
4
10
)
)
)
3
,
J
(
5
i
4
)
=
(
(
1
+
5
)
37
2
39
(
a
1
+
a
2
2
+
a
3
5
+
a
4
10
−
5
4
(
b
1
+
b
2
2
+
b
3
5
+
b
4
10
)
)
)
3
,
J
(
20
i
)
=
(
(
1
+
5
)
37
2
39
(
a
1
+
a
2
2
+
a
3
5
+
a
4
10
+
5
4
(
b
1
+
b
2
2
+
b
3
5
+
b
4
10
)
)
)
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+2}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {10i+1}{2}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\,\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5i}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}\,{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J(20i)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}.\end{aligned}}}
J
(
1
4
(
5
i
±
1
)
)
=
(
1
−
9
8
(
(
2402
−
1074
5
)
i
±
(
1607
−
719
5
)
5
4
)
2
)
3
.
{\displaystyle J\left({\tfrac {1}{4}}(5i\pm 1)\right)=\left(1-{\tfrac {9}{8}}\left((2402-1074{\sqrt {5}})i\pm (1607-719{\sqrt {5}}){\sqrt[{4}]{5}}\right)^{2}\right)^{3}.}
Ще чотири спеціальні значення наведені у вигляді двох комплексно-сполучених пар:[7]
J
(
4
13
(
5
i
±
1
)
)
=
(
(
1
−
5
)
37
2
39
(
a
1
−
a
2
2
−
a
3
5
+
a
4
10
±
i
5
4
(
b
1
−
b
2
2
−
b
3
5
+
b
4
10
)
)
)
3
,
J
(
5
17
(
4
i
±
1
)
)
=
(
(
1
−
5
)
37
2
39
(
a
1
+
a
2
2
−
a
3
5
−
a
4
10
±
i
5
4
(
b
1
+
b
2
2
−
b
3
5
−
b
4
10
)
)
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {4}{13}}\left(5i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5}{17}}\left(4i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}\end{aligned}}}
Chandrasekharan (1985) p.108
Apostol, Tom M. (1976), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory , Graduate Texts in Mathematics, т. 41, New York: Springer-Verlag, MR 0422157 .Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (1999), Ramanujan and the modular j-invariant (PDF) , Canadian Mathematical Bulletin , 42 (4): 427—440, doi :10.4153/CMB-1999-050-1 , MR 1727340 , архів оригіналу (PDF) за 29 вересня 2007, процитовано 25 лютого 2017 Cox, David A. (1989), Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication , New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., MR 1028322 Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), Monstrous moonshine, Bulletin of the London Mathematical Society , 11 (3): 308—339, doi :10.1112/blms/11.3.308 , MR 0554399 Rankin, Robert A. (1977), Modular forms and functions , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X MR 0498390 Schneider, Theodor (1937), Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale, Math. Annalen , 113 : 1—13, doi :10.1007/BF01571618 , MR 1513075 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&=\left({\tfrac {5}{3}}\right)^{3}\\J(2i)&=\left({\tfrac {11}{2}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac {\sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\left(30+11{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bde9b84c7d6572a25b5e549ea6858459b9c85cd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+2}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {10i+1}{2}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\,\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5i}{4}}\right)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}\,{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J(20i)&=\left({\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}+a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}+b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}.\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0ac426636ecb9158bbdc84f381afb429ce3ebb)
![{\displaystyle J\left({\tfrac {1}{4}}(5i\pm 1)\right)=\left(1-{\tfrac {9}{8}}\left((2402-1074{\sqrt {5}})i\pm (1607-719{\sqrt {5}}){\sqrt[{4}]{5}}\right)^{2}\right)^{3}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc72355605eca22218b6c9038992aa5e606e6b7a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {4}{13}}\left(5i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}-a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}+a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}-b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}+b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3},\\J\left({\tfrac {5}{17}}\left(4i\pm 1\right)\right)=\left({\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{37}}{2^{39}}}\left(a_{1}+a_{2}{\sqrt {2}}-a_{3}{\sqrt {5}}-a_{4}{\sqrt {10}}\pm i{\sqrt[{4}]{5}}\left(b_{1}+b_{2}{\sqrt {2}}-b_{3}{\sqrt {5}}-b_{4}{\sqrt {10}}\right)\right)\right)^{3}\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a5103de5309e48c7e7c95a7a6ed0af5287e0a0)
