Число Пелля— ціле число, що є знаменником у нескінченній послідовностіланцюгових дробів для квадратного кореня з двох. Ця послідовність наближень починається дробами: , тобто перші числа Пелля— 1, 2, 5, 12 і 29. Чисельники тієї самої послідовності наближень є половинами супутних чисел Пелля або числами Пелля— Люка— нескінченої послідовності, що починається з 2, 6, 14, 34 і 82.
Послідовність чисел Пелля відома з давніх часів, хоча Леонард Ейлер помилково приписав їх відкриття Джону Пеллю (як і рівняння Пелля). Числа Пелля— Люка названі на честь Едуарда Люка, який вивчав ці послідовності. І числа Пелля, і супутні числа Пелля є окремими випадками послідовностей Люка.
Для великих значень n член домінує в цьому виразі, так що числа Пелля приблизно пропорційні ступені срібного перетину, також як швидкість росту чисел Фібоначчі дорівнює ступені золотого перетину.
Можливо і третє визначення— у вигляді матричної формули
Багато тотожностей можуть бути доведені з цих визначень, наприклад тотожність, аналогічне тотожності Кассіні[ru] для чисел Фібоначчі,
як негайний наслідок матричної формули (підставляючи визначники матриць ліворуч і праворуч).[2]
то їх відношення дає близьке наближення до .
Послідовність наближень цього виду
де знаменник кожного дробу— число Пелля, а чисельник дорівнює сумі числа Пелля і його попередника в послідовності. Таким чином, наближення мають вигляд .
Наближення
цього типу було відомо математикам Індії в третьому-четвертому столітті до нашої ери.[3]
Грецькі математики п'ятого століття до нашої ери також знали про це наближення.[4]Платон посилається на чисельники як раціональні діаметри.[5]
У другому столітті нашої ери Теон Смирнський[ru] використовував терміни сторона і діаметр для опису знаменника і чисельника цієї послідовності.[6]
Скінчена частина ланцюгового дробу дає апроксимацію у вигляді чисел Пелля.
Наприклад,
Як писав Кнут (1994), факт апроксимації числами Пелля дозволяє використовувати їх для раціонального наближення до правильного восьмикутника з координатами вершин и .
Усі вершини цього восьмикутника однаково віддалені від центру і формують майже однакові кути. Водночас точки , и формують восьмикутник, у якого вершини майже однаково віддалені від центру та мають однакові кути.
Простим числом Пелля називається число Пелля, що є також простим. Кілька перших простих чисел Пелля
Як і у випадку з числами Фібоначчі, число Пелля може бути простим тільки якщо n просте.
Є всього три числа Пелля, які є квадратами, кубами та іншими вищими ступенями,— це 0, 1, і 169 = 132.
[7]
Попри те, що серед чисел Пелля настільки мало квадратів та інших степенів, вони мають близький зв'язок із квадратними трикутними числами.[8]
Ці числа виникають із наступної тотожності:
Ліва частина цієї тотожності дає квадратне число, у той час як права частина дає трикутне число, так що в результаті отримаємо квадратне трикутне число.
Сантана (Santana) і Діац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) довели іншу тотожність, що пов'язує числа Пелля з квадратами. Вони показали, що сума чисел Пелля до завжди є квадратом:
Наприклад, сума чисел Пелля до , , є квадратом числа .
Якщо прямокутний трикутник має сторони a, b, c (по теоремі Піфагораa2+b2=c2), то (a,b,c) відомі як піфагорові трійки. Мартін (Martin) (1875) писав, що числа Пелля можна застосувати для формування піфагорових трійок, в яких a і b відрізняються на одиницю, що відповідає майже рівнобедреному прямокутному трикутнику. Кожна така трійка має вигляд
Тобто, перші два числа в послідовності рівні 2, а всі інші формуються як сума подвоєного попереднього числа Пелля—Люка та попереднього до нього, або, що еквівалентно, як сума наступного та попереднього чисел Пелля.
Так, супутнім для 82 є число 29, і 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.
Усі ці числа парні, кожне з них є подвоєним чисельником у наближенні раціональними числами до .
Наступна таблиця дає декілька перших степенів срібного перетину і пов'язаного з ним .
Більше інформації , ...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Закрити
Коефіцієнти являють собою половини супутніх чисел Пелля і числа Пелля , є невід'ємними розв'язками рівняння
.
Квадратне трикутне число— це число , яке є як трикутним числом так і квадратним. Майже рівнобедрені піфагорові трійки є цілими розв'язками
, де .
Наступна таблиця показує розкладання непарних на дві майже однакові половинки, що дає квадратне трикутне число, коли n парне, і майже рівнобедрену піфагорову трійку, коли n непарне.
Більше інформації , ...
t
t+1
s
a
b
c
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
2
3
2
1
2
1
3
7
5
3
4
5
4
17
12
8
9
6
5
41
29
20
21
29
6
99
70
49
50
35
7
239
169
119
120
169
8
577
408
288
289
204
9
1393
985
696
697
985
10
3363
2378
1681
1682
1189
11
8119
5741
4059
4060
5741
12
19601
13860
9800
9801
6930
Закрити
Визначення
Половини супутніх чисел Пелля і числа Пелля
можна отримати декількома еквівалентними шляхами:
Піднесення до степеня:
Звідки випливає:
і
Парні рекурентні відношення:
або, в матричному вигляді:
Таким чином
Наближення
Різниця і дорівнює , що швидко наближається до нуля.
Таким чином
дуже близьке до .
Із цього спостереження випливає, що відношення цілих швидко наближається до у той час як и швидко наближається до .
H2−2P2=±1
Оскільки є ірраціональним, неможливо отримати , тобто .
Найкраще, що ми можемо отримати, це або або .
Невід'ємними рішеннями є пари з парним n, і рішеннями є пари з n непарним.
Щоб зрозуміти це, зауважимо
так що, починаючи з знак чергується ().
Зауважимо тепер, що кожне позитивне рішення можна отримати з рішення з меншим індексом завдяки рівності .
Квадратні трикутні числа
Необхідну рівність еквівалентно , що перетворюється в
при підстановці і . Звідси n-м рішенням буде і
Зауважимо, що і взаємно прості, так що можливо тільки тоді, коли вони є сусідніми цілими, одне— квадрат й інше— подвоєний квадрат .
Оскільки ми знаємо всі рішення рівняння, ми отримуємо
і
Більше інформації , ...
t
t+1
s
a
b
c
0
1
0
1
1
1
1
2
1
1
0
1
2
3
2
8
9
6
3
4
5
3
7
5
49
50
35
21
20
29
4
17
12
288
289
204
119
120
169
5
41
29
1681
1682
1189
697
696
985
6
99
70
9800
9801
6930
4059
4060
5741
Закрити
Триплети Піфагора
Рівність вірно тільки при , що перетворюється в при підстановці .
Тоді n-м рішенням є і
Таблиця вище показує, що з точністю до порядку і дорівнює і , в той час як
Наприклад, Селлерс (Sellers) в 2002 році показав, що кількість досконалих паросполучень в декартовому добуткушляхів і графу K4-e може бути обчислена як добуток числа Пелля на відповідне число Фібоначчі
Про матричну формулу і її наслідках дивіться Ерколано (Ercolano) (1979), Кілік (Kilic) і Таскі (Tasci) (2005). Інші тотожності для чисел Пелля наведені Хорадамом (Horadam) (1971) і Бікнелл (Bicknell) (1975).
Дивись Кнорра (Knorr) (1976) з посиланням на п'яте століття, що відповідає твердженням Прокла, що числа відкрили піфагорійці. Повніші дослідження щодо знань давніх греків про ці числа дивись у Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Ріденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), і Філепа (Filep) (1999).
Pethő (1992); Cohn (1996). Хоча числа Фібоначчі визначаються рекурентними формулами, дуже схожими на формули для чисел Пелля, Кон (Cohn) писав, що аналогічні результати для чисел Фібоначчі набагато складніше довести. Утім, їх довів у 2006 році Бюжо (Bugeaud).
Kilic, Emrah; Tasci, Dursun (2005). The linear algebra of the Pell matrix. Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie. 11 (2): 163—174. MR2207722.
Knorr, Wilbur (1976). Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation. Archive for History of Exact Sciences. 15 (2): 115—140. doi:10.1007/BF00348496. MR0497462.
Pethő, A. (1992). The Pell sequence contains only trivial perfect powers. Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991). Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland. с.561—568. MR1218218.