У математиці, квадратне трикутне число (або трикутне квадратне число) — число, яке одночасно є трикутним числом і ідеальним квадратом. Існує нескінченно багато таких чисел; декілька перших з них:
- 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 послідовність A001110 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Квадратні трикутні числа | |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
---|---|
Квадратні трикутні числа у Вікісховищі |
Детальні формули
Якщо позначити Nk для k-го квадратного трикутного числа, а sk і tk прийняти за сторони відповідного квадрата і трикутника, тоді
Далі позначаємо трикутний корінь трикутного числа N = n(n + 1)/2 як n. З цього визначення та квадратичної формули,
Тому, N є трикутним числом (для цілого n) тоді й лише тоді, коли 8N + 1 є квадратом. Відповідно, квадратне число M2 є трикутним числом тоді й лише тоді, коли 8M2 + 1 є квадратом, тобто, коли існують числа x і y, для яких x2 − 8y2 = 1. Це є випадком рівняння Пелля для n = 8. Всі рівняння Перря мають тривіальні рішення x = 1, y = 0 для будь-якогоn; це також називається нульовим рішенням, та індексується як (x0, y0) = (1,0). Якщо (xk, yk) позначає k-те нетривіальне рішення будб-якого рівняння Пелля для конкретного n, воно може бути зображено методом спуска, тобто
Тому існує нескінченність рішень для будь-якого рівняння Пелля, для якого існує одне нетривіальне рішення, що залишається правильним для будь-якого n, яке не є квадратом. Перше нетривіальне рішення для n = 8 легко знайти: це (3,1). Рішення (xk, yk) для рівняння Пелля для n = 8 дає квадратне трикутне число та його квадратний та трикутний корінь, а саме:
Тому першим квадратним трикутним числом, отриманим від (3,1), є 1, а наступним, отриманим від 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), є 36.
Послідовності Nk, sk і tk є відповідно послідовностями OEIS A001110, A001109 і A001108.
Леонард Ейлер 1778 року визначив точну формулу[1][2]
Інші еквівалентні формули (отримані деталізацією цієї формули), які можуть бути зручними, включають
Відповідні детальні формули для sk і tk є наступними:[2]
Рівняння Пелля
Проблема пошуку квадратних трикутних чисел зводиться до рівняння Пелля наступним чином.[3]
Кожне трикутне число має форму t(t + 1)/2, тому потрібно шукати такі цілі числа t, s, що
Трансформуючи, отримуємо
а тоді, підставляючи x = 2t + 1 і y = 2s, отримуємо Діофантове рівняння
яке є окремим випадком рівняння Пелля. Це конкретне рівняння вирішується числом Пелля Pk, а саме[4]
а тому всі рішення можна записати як
Існує багато тотожностей щодо числа Пелля, і ці тотожності транслюються у тотожності щодо квадратних трикутних чисел.
Рекурентні співвідношення
Існують рекурентні співвідношення для квадратних трикутних чисел, так само як і для сторін їх квадратів і трикутників. Маємо[5]
Інші характеристики
Всі квадратні трикутні числа мають форму b2c2, де b/c є наближенням до ланцюгового дробу для √2.[6]
А. В. Сільвестер надав наступний короткий доказ, що існує нескінченність квадратних трикутних чисел:[7]
Якщо n-не трикутне число n(n + 1)/2 є квадратним, то і більше 4n(n + 1)-не трикутне число є таким, оскільки:
Ми знаємо, що цей результат має бути квадратним числом, оскільки він є результатом множення трьох квадратів: 4, n(n + 1)/2 (початкове квадратне трикутне число) та (2n + 1)2.
Трикутні корені tk є одночасно на одиницю менші квадрата і є подвоєним квадратом, якщо k є парним числом, та одночасно є квадратом і на одиницю менше подвоєного квадрату, якщо k непарним числом. Так,
- 49 = 72 = 2 × 52 − 1,
- 288 = 172 − 1 = 2 × 122, і
- 1681 = 412 = 2 × 292 − 1.
У кожному випадку, два використані квадратні корені при множенні дають sk: 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, і 29 × 41 = 1189.[джерело?]
Додатково:
36 − 1 = 35, 1225 − 36 = 1189, and 41616 − 1225 = 40391. Іншими словами, різниця між двома послідовними квадратними трикутними числами є квадратним коренем іншого квадратного трикутного числа.[джерело?]
Функція, яка генерує квадратні трикутні числа:[8]
Числові дані
По мірі зростання k, співвідношення tk/sk наближається до √2 ≈ 1.41421356, а співвідношення послідовних квадратних трикутних чисел наближається (1 + √2)4 = 17 + 12√2 ≈ 33.970562748. Таблиця нижче дає значення k між 0 та 11, які охоплюють всі квадратні трикутні числа до 1016.
k | Nk | sk | tk | tk/sk | Nk/Nk − 1 |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | ||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
2 | 36 | 6 | 8 | 1.33333333 | 36 |
3 | 1225 | 35 | 49 | 1.4 | 34.027777778 |
4 | 41616 | 204 | 288 | 1.41176471 | 33.972244898 |
5 | 1413721 | 1189 | 1681 | 1.41379310 | 33.970612265 |
6 | 48024900 | 6930 | 9800 | 1.41414141 | 33.970564206 |
7 | 1631432881 | 40391 | 57121 | 1.41420118 | 33.970562791 |
8 | 55420693056 | 235416 | 332928 | 1.41421144 | 33.970562750 |
9 | 1882672131025 | 1372105 | 1940449 | 1.41421320 | 33.970562749 |
10 | 63955431761796 | 7997214 | 11309768 | 1.41421350 | 33.970562748 |
11 | 2172602007770041 | 46611179 | 65918161 | 1.41421355 | 33.970562748 |
Див. також
- Задача про гарматні кулі, про числа, які є одночасно квадратними та квадратними пірамідальними
- Шостий степінь, числа, які є одночасно квадратними та кубічними
- Квадратне число
- Центроване квадратне число
Примітки
Посилання
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.