Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Пе́рві́сною для функції f(x) називається така функція F(x), похідна якої F'(x) дорівнює f(x).
Операція взяття первісної є оберненою (в деякому сенсі) до операції взяття похідної: первісними для похідної f(x) будуть функції F(x) + C, де C ∈ R — довільна стала (зокрема, однією з первісних буде сама функція F(x)). І навпаки, похідною від первісної F(x) для функції f(x) буде сама функція f(x).
Надалі через J будемо позначати довільний непорожній інтервал дійсних чисел (відкритий або замкнений, обмежений або необмежений).
Означення. Функція F(x) називається первісною (примітивною) для функції f(x) на інтервалі J дійсної осі, якщо f(x) = F'(x) для всіх x ∈ J.
Нехай функція F — первісна функції f на інтервалі J. Тоді
Приклад. Для функції y = 3x2 первісними є функції F(x) = x3, F(x) = x3 + 5, F(x) = x3 − 6 тощо (на довільному інтервалі J).
Не всі функції мають первісну.
Приклад. Функція
не має первісної на відрізку [−1, 1].[1]
Теорема. Для довільної неперервної на деякому інтервалі J функції f існує первісна на цьому інтервалі.[2]
Знаходження первісної для заданої функції f(x) називається інтегруванням. Для обчислення первісної використовуються ті самі методи, що і для обчислення невизначеного інтегралу, а саме
Не завжди первісну можна записати у вигляді скінченної комбінації елементарних функцій (наприклад, функція exp(x2) має первісну як неперервна функція, проте ця первісна не виражається аналітично). В такому разі первісну треба шукати у вигляді функціонального ряду або нескінченного добутку елементарних функцій.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.