Інтегрування частинами

Інтегрування частинами — один із способів знаходження інтеграла.

Суть методу в наступному: якщо підінтегральна функція подана у виді добутку двох неперервних і гла́дких функцій (кожна з яких може бути як елементарною функцією, так і композицією), то справедливі формули:

• для невизначеного інтеграла:

${\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}$

• для визначеного:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}$

Передбачається, що знаходження інтеграла ${\displaystyle \int v\,du}$ простіше, ніж ${\displaystyle \int u\,dv\,}$. У іншому випадку застосування методу не виправдано.

Одержання формул

Для невизначеного інтеграла

Функції ${\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}}$ і ${\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}}$ гладкі, отже, можливе диференціювання:

${\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}$

Ці функції також неперервні, отже можна взяти інтеграл від обох частин рівності:

${\displaystyle \int d(u\,v)=\int du\,v+\int u\,dv}$

Операція інтегрування протилежна диференціюванню:

${\displaystyle u\,v=\int du\,v+\int u\,dv}$

Після перестановок:

${\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}$

Для визначеного

У цілому аналогічно випадку для невизначеного інтеграла:

${\displaystyle d(u\,v)=du\,v+u\,dv}$

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}du\,v+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}$

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}$

Приклади

• ${\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}$
• ${\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,(e^{x}\,dx)=\int x\,de^{x}=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}$

• Іноді цей метод застосовується кілька разів:

${\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}$

${\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}$

• Цей метод також використовується для знаходження інтегралів від елементарних функцій:

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}$

• У деяких випадках інтегрування частинами не дає прямої відповіді:

${\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}$

${\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}$

${\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}$

${\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}$

У такий спосіб один інтеграл виражається через інший:

${\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}$

Вирішивши отриману систему, одержуємо:

${\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}$

${\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}$

Див. також

• Методи інтегрування

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Методи підстановки та інтегрування частинами у визначеному інтегралі // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 418. — 594 с.