Методи інтегрування

Знаходження первісної чи інтеграла для довільних функцій — справа значно складніша, ніж диференціювання, тобто пошук похідної. Представити інтеграл довільної функції в елементарних функціях не завжди неможливо. Тому існує набір методів для пошуку інтеграла окремих груп функцій.

Безпосереднє інтегрування

Використовується таблиця інтегралів.

Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність: ${\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f[\varphi (t)]{\dot {\varphi }}(t)\,dt}$

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х — φ (t) мала обернену t = ψ(х).

Приклад. Знайти інтеграл ${\displaystyle I=\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {25-x^{2}}}}}$

Розв'язування. Зробимо підстановку ${\displaystyle x=5\sin t}$, тоді

${\displaystyle {\sqrt {25-x^{2}}}={\sqrt {25-25\sin ^{2}t}}=5\cos t,dx=(5\sin t)'=5\cos tdt}$

Отже, одержимо

${\displaystyle I=\int {\frac {25\sin ^{2}t\cdot 5\cos tdt}{5\cos t}}=25\int \sin ^{2}tdt={\frac {25}{2}}\int (1-\cos 2t)dt={\frac {25}{2}}(\int \,dt-\int \cos 2t\,dt)={\frac {25}{2}}t-{\frac {25}{4}}\sin 2t+C}$

Із рівності ${\displaystyle x=5\sin t}$ одержимо ${\displaystyle t=\arcsin(x/5);}$

${\displaystyle \sin 2t=2\sin t\cos t=2{\frac {x}{5}}\cdot {\frac {1}{5}}{\sqrt {25-x^{2}}}}$
${\displaystyle I={\frac {25}{2}}\arcsin {\frac {x}{5}}-{\frac {25}{4}}\cdot {\frac {2x}{25}}{\sqrt {25-x^{2}}}+C}$
Отже, ${\displaystyle I={\frac {25}{2}}\arcsin {\frac {x}{5}}-{\frac {x}{2}}{\sqrt {25-x^{2}}}+C}$

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце рівність: ${\displaystyle \int f[\varphi (x)]\varphi ^{'}(x)dx=\int f(t)dt}$

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).

Приклад. Знайти ${\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx}$

Розв'язування. Нехай ${\displaystyle {\sqrt {x-3}}=t}$ тоді ${\displaystyle x-3=t^{2}\Rightarrow x=3+t^{2},dx=2tdt}$.

${\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2})dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {(x-3)^{5}}}+2{\sqrt {(x-3)^{2}}}+C}$

Метод інтегрування частинами

Докладніше: Інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, і хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто ${\displaystyle u=u(x),v=v(x)}$.

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

${\displaystyle d(uv)=udv+vdu}$

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо ${\displaystyle \int d(u\cdot v)=\int u\,dv+\int v\,du}$

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо

${\displaystyle u\cdot v=\int u\,dv+\int v\,du}$

Отже, одержали формулу ${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$

яку називають формулою інтегрування частинами.

Ця формула дозволяє звести пошук інтеграла ${\displaystyle \int u\,dv}$ до пошуку інтеграла ${\displaystyle \int v\,du}$. Якщо вдало обрати u та dv, інтеграл може бути табличним або простішим, ніж початковий інтеграл ${\displaystyle \int u\,dv}$

Приклад. Знайти ${\displaystyle \int \ln x\,dx}$

Розв'язування. Нехай ${\displaystyle u=\ln x,\ v=x,\ dv=dx,\ du/dx=d(lnx)/dx=1/x,\ du=d(lnx)=dx/x.}$

За формулою інтегрування частинами одержимо

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C}$

Інтегрування раціональних дробів

Докладніше: Розкладання дробів при інтегруванні

Невизначений інтеграл будь-якого раціонального дробу на будь-якому проміжку, де знаменник дробу не обертається в нуль, існує і подається через елементарні функції, а саме: він є алгебраїчною сумою суперпозиції раціональних дробів, арктангенсів і раціональних логарифмів.

Сам метод полягає в розкладанні раціонального дробу на суму найпростіших.

Усякий правильний раціональний дріб ${\displaystyle {\tfrac {P(x)}{Q(x)}}}$, знаменник якого розкладено на множники

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\cdot ...\cdot (x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{s_{1}}\cdot ...\cdot (x^{2}+p_{m}x+q_{m})^{s_{m}}}$ можна подати (лише єдиним способом) у виді наступної суми найпростіших дробів:
${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {A_{1}}{x-x_{1}}}+{\frac {A_{2}}{(x-x_{1})^{2}}}+\dots +{\frac {A_{k_{1}}}{(x-x_{1})^{k_{1}}}}+{\frac {B_{1}}{(x-x_{2})}}+{\frac {B_{2}}{(x-x_{2})^{2}}}+\dots +{\frac {B_{k_{2}}}{(x-x_{2})^{k_{2}}}}+\dots }$ ${\displaystyle +{\frac {C_{1}x+D_{1}}{x^{2}+p_{1}x+q_{1}}}+{\frac {C_{2}x+D_{2}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{2}}}+{\frac {C_{s_{1}}x+D_{s_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{s_{1}}}}+\dots }$ ${\displaystyle +{\frac {M_{1}x+N_{1}}{x^{2}+p_{m}x+q_{m}}}+{\frac {M_{2}x+N_{2}}{(x^{2}+p_{m}x+q_{m})^{2}}}+\dots +{\frac {M_{s_{m}}x+N_{s_{m}}}{(x^{2}+p_{m}x+q_{m})^{s_{m}}}}}$

де ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,B_{1},B_{2},...,C_{1},C_{2},...,M_{1},N_{1},...}$ — деякі дійсні коефіцієнти. Зазвичай невідомі коефіцієнти шукають за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

Див. також

• Чисельне інтегрування
• Символьне інтегрування

Посилання

• Методи інтегрування // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 371. — 594 с.
• Метод заміни змінної (метод підстановки) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 382. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)