![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Gamma_abs_3D.png/640px-Gamma_abs_3D.png&w=640&q=50)
Комплексний аналіз
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Компле́ксний ана́ліз, або тео́рія фу́нкції компле́ксної змі́нної (ТФКЗ) — розділ математики, що вивчає функції, які залежать від комплексної змінної. Використовується у багатьох розділах математики, зокрема у теорії чисел, прикладній математиці та фізиці. Поєднує у собі математичний аналіз функцій дійсних змінних, диференціальні рівняння і багато інших розділів математики.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Color_complex_plot.jpg/640px-Color_complex_plot.jpg)
Головною задачею ТФКЗ є вивчення аналітичних функцій, які залежать від комплексної змінної (або мероморфних функцій). Оскільки дійсна та уявна частина будь-якої аналітичної функції повинні підкорюватися рівнянню Лапласа, комплексний аналіз має широке застосування у поверхневих задачах фізики.
Комплексною називається функція, в якій аргумент та залежна змінна є комплексними числами. Або точніше, комплексна функція — це функція, область визначення якої D є підмножиною комплексної площини, і область значень функції E також підмножина комплексної площини.
Для будь-якої комплексної функції, аргумент та залежна змінна повинні мати дійсну та уявну частини:
та
- де
та
— це функції, визначені на множині дійсних чисел.
Іншими словами, компоненти функції f(z),
та
можуть бути подані як функції, визначені на множині дійсних чисел, але залежні від двох змінних х та у.
Таким чином, на комплексній множині можна використовувати звичайні дійсні функції: тригонометричні та обернені їм, гіперболічні, логарифмічні тощо. Окрім цього ці функції можна розповсюдити на комплексну множину і обчислювати їх значення для комплексних чисел.