Комплексне число
розширення поля дійсних чисел / З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Шановний Wikiwand AI, Давайте зробимо це простіше, відповівши на ключові запитання:
Чи можете ви надати найпопулярніші факти та статистику про Комплексне число?
Підсумуйте цю статтю для 10-річної дитини
Ко́мпле́ксні чи́сла — розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається . Будь-яке комплексне число може бути зображено формальною сумою , де і — дійсні числа, — уявна одиниця[1].
Комплексне число | |
Ким названо | Лазар Карно |
---|---|
Наступник | кватерніони |
Формула | |
Позначення у формулі | , , і |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
Протилежне | дійсне число |
Комплексне число у Вікісховищі |
Комплексні числа утворюють алгебрично замкнуте поле — це означає, що многочлен степеня n із комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів (основна теорема алгебри). Це є головною причиною широкого застосування комплексних чисел у математиці. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно й компактно формулювати багато математичних моделей у фізиці.
Поле комплексних чисел можна розглядати як розширення поля дійсних чисел, в якому многочлен має корінь. Наступна модель показує можливість побудови такої системи чисел. Усі змісти комплексних чисел є ізоморфними розширеннями поля дійсних чисел , як і будь-які інші конструкції поля розкладання многочлена .
Комплексне число можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел , а операції додавання й множення таких пар визначено таким чином:
Дійсні числа є в цій моделі підмножиною множини комплексних чисел і подані парами виду , причому операції з такими парами узгоджено зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль зображується парою , одиниця — , а уявна одиниця — . На множині комплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що й на множині дійсних, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює , тобто .
Нескладно показати, що визначені вище операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є тільки властивості, пов'язані з відношенням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа і при цьому зберігши звичайні властивості порядку, неможливо.
Відомо також кілька узагальнень комплексних чисел, таких як кватерніони.