Yerçekimi

Kütleçekim ile karıştırılmamalıdır.

Aynı adlı film için Yerçekimi (film) sayfasına bakınız.

Yer çekimi (g ile gösterilir), kütleçekimi (Dünya içindeki kütle dağılımından) ve merkezkaç kuvvetinin (Dünya'nın dönüşünden) birleşik etkisi nedeniyle nesnelere aktarılan net ivmedir.^[1][2] Yönü bir şakul topuzuyla çakışan, gücü veya büyüklüğü ${\displaystyle g=\|{\mathit {\mathbf {g} }}\|}$ normuyla temsil edilen vektörel bir niceliktir.

Dünyanın NASA'nın GRACE misyonunda ölçülen yerçekimi, ideal düz bir Yerküre'nin teorik çekimden farkı göstermektedir. Bu ideal şekle Dünya elipsoidi denir. Kırmızı bölgeler, çekimin idealden fazla olduğu yerleri, mâvi bölgeler de daha hafif olduğu yerlerdir. Animasyon

Bu vektör niceliğinin ivmesi SI birimlerinde metre bölü saniye kare (m/s² veya m·s⁻²) veya eşdeğer olarak kilogram başına newton (N/kg veya N·kg⁻¹) olarak ifade edilir. Dünya'nın yüzeyine yakın yerlerde, yer çekimi ivmesi yaklaşık olarak 9,81 m/s² (32,2 ft/s²) olup, hava direnci göz ardı edildiğinde serbest düşen bir nesnenin hızı her saniye yaklaşık olarak 9,81 metre (32,2 ft) artar. Bu nicelik bazen gayri resmi olarak küçük g ile gösterilir (bunun tersine, kütle çekimi sabiti büyük G ile gösterilir).

Dünya'nın yer çekimi kuvvetinin kesin gücü konuma bağlı olarak değişir. Dünya'nın yüzeyindeki nominal "ortalama" değeri, standart yer çekimi olarak tanımlanır ve 9,80665 m/s² (32,1740 ft/s²) olarak belirlenmiştir.^[3] Bu nicelik; g_n, g_e (ancak bu bazen Dünya'daki normal ekvatoral değer anlamına gelir, 9,78033 m/s² (32,0877 ft/s²)), g₀, gee veya basitçe g (bu aynı zamanda yerel değer değişkeni için de kullanılır) olarak çeşitli şekillerde gösterilir.

Bir nesnenin Dünya yüzeyindeki ağırlığı, Newton'un ikinci hareket yasası (F = m a (kuvvet = kütle × ivme)) ile belirtilen, o nesne üzerindeki aşağıya doğru kuvvettir. Kütleçekim ivmesi, toplam yer çekimi ivmesine katkıda bulunur, fakat Dünya'nın dönüşü gibi diğer faktörler de buna katkıda bulunur ve bu nedenle nesnenin ağırlığını etkiler. Yer çekimi, normalde gelgit etkileri olarak açıklanan Ay ve Güneş'in kütleçekim etkisini içermez.

Büyüklükteki sapma

Eşit kütle yoğunluğuna sahip veya yoğunluğu sadece merkezden uzaklığa bağlı olan (küresel simetri) dönmeyen mükemmel bir küre, yüzeyinin tüm noktalarında eşit büyüklükte bir kütleçekimi alanı üretecektir. Ancak, Dünya dönüyor ve küresel simetrisi yoktur. Kutuplarda biraz daha düzken, Ekvatordaki şişme nedeniyle basık küremsidir. Bu nedenle, yüzeyi boyunca kütleçekim büyüklüğünde hafif sapmalar oluşur. Dolayısıyla Ekvator ve çevresinde yer çekimi az, kutuplara doğru gidildikçe daha fazladır.

Dünya yüzeyindeki yer çekimi, Peru'daki Nevado Huascarán dağında 9,7639 m/s²'den, Kuzey Buz Denizi yüzeyinde 9,8337 m/s²'ye kadar yaklaşık olarak %0,7 oranında değişkenlik gösterir.^[4] Büyük şehirlerde, Kuala Lumpur, Meksiko ve Singapur'da 9,7806^[5] ile Oslo ve Helsinki'de 9,825 aralığında değişir.

Geleneksel değer

1901'deki üçüncü Ölçüler ve Ağırlıklar Genel Konferansı'nda, Dünya'nın yüzeyi için standart bir yer çekimi ivmesi tanımlandı: g_n = 9,80665 m/s². Bu, 1888'de Paris yakınlarındaki Pavillon de Breteuil'de yapılan ölçümlere dayanıyordu ve deniz seviyesinde 45°'lik bir enleme dönüştürmek için teorik bir düzeltme uygulanmıştı.^[6] Dolayısıyla bu tanım, belirli bir yerin değeri veya dikkatlice hesaplanmış bir ortalama değil, daha iyi bir gerçek yerel değer bilinmiyorsa veya önemli değilse kullanılacak bir değer için oluşturulmuş mutabakattır.^[7] Aynı zamanda kilogram-kuvvet ve pound-kuvvet birimlerini tanımlamak için de kullanılır.

Dünya yüzeyindeki yer çekimi ivmesini; Dünya'nın ortalama yarıçapı (6.371 kilometre (3.959 mi)),^[8] deneysel olarak belirlenen kütle çekimi sabiti ve 5,9722 ×10²⁴ kg'lık Dünya kütlesi kullanılarak hesaplamak, 9,80665 m/s²'lik standart yer çekiminden biraz daha büyük olan 9,8203 m/s²'lik^[9] bir ivme değerini verir. Standart yer çekiminin değeri, 63.754 kilometre (39.615 mi) bir yarıçapta Dünya üzerindeki yer çekimine karşılık gelir.^[9]

Enlem

Antarktika kıtası etrafındaki Dünya'nın yerçekimi farklılıkları.

Dünya'nın yüzeyi döndüğü için, ivmesi olan bir referans çerçevesidir. Dünya'nın dönüşü tarafından üretilen dışa doğru merkezkaç kuvveti, Ekvatora yakın enlemlerde kutup enlemlerine göre daha büyüktür. Bu, düşen nesnelerin görünür aşağı ivmesini küçük bir derecede azaltarak (Ekvatorda maksimum %0,3'e kadar) Dünya yerçekimini dengeleyen bir etki yapar.

Farklı enlemlerdeki yerçekimi farkının ikinci büyük sebebi, Dünya'nın ekvatorda şişkin oluşunun (dönüşten kaynaklanan merkezkaç kuvvetinin neden olduğu) Ekvator'daki nesnelerin, kutuplarda bulunan nesnelere göre gezegenin merkezinden daha uzakta olmasına neden olmasıdır. İki cisim (Dünya ve tartılan cisim) arasındaki çekim kuvveti aralarındaki mesafenin karesiyle ters orantılı olduğundan, Ekvator'daki bir cisim, kutuplardan birindeki bir cisimden daha zayıf bir kütle çekimine maruz kalır.

Kombine edildiğinde ekvator şişkinliği ve dönmeye bağlı yüzey merkezkaç kuvvetinin etkileri, Ekvatorda deniz seviyesindeki yer çekiminin yaklaşık olarak 9,780 m/s²'den, kutuplarda yaklaşık 9,832 m/s²'ye kadar artmasına neden olur. Bu nedenle bir nesne kutuplarda, Ekvatordan yaklaşık %0,5 oranında daha ağır olur.^[1][10]

Yükseklik

Grafik, yüzeyin üzerindeki bir nesnenin yüksekliğine bağlı olarak yerçekimi değişimini göstermektedir

Rakıma bağlı olarak Dünya, Mars ve Ay kütleçekiminin karşılaştırması

Yeryüzünden yükseldikçe yerçekimi azalır, çünkü daha yüksek bir irtifaya çıkıldıkça Dünya'nın merkezine olan uzaklık artar. Diğer tüm faktörler eşit olduğunda, deniz seviyesinden 9.000 metre (30.000 ft) yüksekliğe çıkmanın ağırlık kaybı yaklaşık %0,29'dur. (Yüksekteki hava yoğunluğundaki azalma nesnenin kaldırma kuvvetini azalttığı için görünür ağırlığı etkileyen ek bir faktördür.^[11] Bu, 9.000 metre yükseklikteki bir kişinin görünen ağırlığını yaklaşık %0,08 arttırır.)

Yörüngede bulunan astronotların yerçekimsiz ortamda oldukları düşüncesi yaygın bir yanılgıdır, çünkü Dünya'nın yerçekiminden kaçmak için yeterince yüksekliktedirler. Aslında, ISS'nin tipik yörüngesi olan 400 kilometre (250 mi) yükseklikte yerçekimi hala Dünya yüzeyindekinin yaklaşık %90'ı kadar güçlüdür. Ağırlıksızlık, yörüngede olan nesnelerin serbest düşüşte olmaları nedeniyle gerçekleşir.^[12]

Yer yüksekliğinin etkisi, yerin yoğunluğuna bağlıdır. Deniz seviyesinden 9.100 metre (30.000 ft) yükseklikte dağların üzerinde uçan bir kişi, aynı yükseklikte deniz üzerinde uçan birinden daha fazla yerçekimi hissedecektir. Ancak, yer yüzeyinde duran bir kişi, yükseklik arttıkça daha az yerçekimi hisseder.

Aşağıdaki formül Dünya'nın yerçekimi değişimini yüksekliğe bağlı olarak yaklaşık hesaplar:

${\displaystyle g_{h}=g_{0}\left({\frac {R_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }+h}}\right)^{2}}$

• g_h deniz seviyesinden h yüksekliğindeki yerçekimi ivmesidir.
• R_e Dünya'nın ortalama yarıçapıdır.
• g₀ standart yerçekimi ivmesidir.

Bu formül, Dünya'yı kütle dağılımı açısından radyal olarak simetrik bir mükemmel küre olarak ele alır; daha doğru matematiksel bir işlem aşağıda belirtilmiştir.

Derinlik

Dünyanın farklı iç katmanlarındaki yerçekimi (1 = kıtasal kabuk, 2 = okyanusal kabuk, 3 = üst manto, 4 = alt manto, 5+6 = çekirdek, A = kabuk-manto sınırı)

Ön Referans Dünya Modeline (PREM) göre Dünya'nın radyal yoğunluk dağılımı.^[13]

Yeryüzünün merkezinden r uzaklıktaki yerçekimi için yaklaşık bir değer, Dünya'nın yoğunluğunun küresel olarak simetrik olduğu varsayımıyla elde edilebilir. Yerçekimi, yarıçapı r olan kürenin içindeki kütleyle sınırlıdır. Dışarıdan yapılan tüm katkılar, yerçekiminin ters kare yasasının bir sonucu olarak iptal edilir. Başka bir sonuç, yerçekiminin tüm kütlenin merkezde yoğunlaşmış gibi aynı olmasıdır. Bu nedenle, bu yarıçapta yerçekimi ivmesi^[14]

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}}.}$ olur.

Burada G kütle çekimi sabiti ve M(r), r yarıçapı içindeki toplam kütledir. Dünyanın sabit bir ρ yoğunluğu olsaydı, kütle M(r) = (4/3)πρr³ ve yerçekiminin derinliğe bağımlılığı

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.}$ olurdu.

d derinliğindeki yerçekimi g′, g′ = g(1 − d/R) şeklinde verilir; burada g, Dünya yüzeyindeki yerçekiminden kaynaklanan ivme, d derinlik ve R, Dünya'nın yarıçapıdır. Eğer yoğunluk, merkezdeki ρ₀ yoğunluğundan yüzeydeki ρ₁ yoğunluğuna kadar artan yarıçapla doğrusal olarak azalıyorsa, o zaman ρ(r) = ρ₀ − (ρ₀ − ρ₁) r / r_e ve bağımlılık

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho _{0}r-\pi G\left(\rho _{0}-\rho _{1}\right){\frac {r^{2}}{r_{\mathrm {e} }}}.}$ olur.

Sismik seyahat sürelerinden çıkarılan gerçek yoğunluk ve yerçekimi derinlik bağımlılıkları (bkz. Adams-Williamson denklemi), aşağıdaki grafiklerde gösterilmiştir.

Yerel topoğrafya ve jeoloji

Dağların varlığı gibi yerel topoğrafya farklılıkları, civardaki kaya yoğunluğu gibi jeolojik faktörler ve daha derin tektonik yapılar, yerel ve bölgesel olarak Dünya'nın yerçekimi alanında farklılıklara neden olur. Bunlar yer yer oldukça yaygın olan kütleçekim anomalileri olarak bilinir^[15] ve deniz seviyesinde kabarmalara, sarkaçlı saatlerin senkronizasyon dışına çıkmasına neden olabilir.

Bu anomalilerin incelenmesi yerçekimi jeofiziğinin temelini oluşturur. Dalgalanmalar son derece hassas gravimetrelerle ölçülür, topoğrafya ve diğer bilinen faktörlerin etkisi elenir ve elde edilen verilerden sonuçlar çıkarılır. Bu teknikler, petrol ve mineral yataklarını bulmak için madenciler tarafından kullanılmaktadır. Daha yoğun kayalar (genellikle mineral cevherleri içeren) Dünya yüzeyinde normalden daha yüksek bölgesel yerçekimi alanlarına neden olur. Daha az yoğun tortul kayaçlar ise tam tersi etki gösterir.

NASA GRACE tarafından elde edilen Dünya'nın yerçekimi türevi haritası ile son zamanlardaki volkanik faaliyetlerin, dağ silsilesi yayılımının ve volkanların konumları arasında güçlü bir ilişki bulunmaktadır. Bu bölgeler, teorik tahminlerden daha güçlü bir çekime sahiptir.

Diğer faktörler

Hava veya su içinde, nesneler destekleyici bir kaldırma kuvvetiyle karşılaşırlar ve bu kuvvet, (bir nesnenin ağırlığı olarak ölçülen) yerçekimi kuvvetinin görünür etkisini azaltır. Bu etkinin büyüklüğü, sırasıyla hava yoğunluğuna (ve dolayısıyla hava basıncına) veya su yoğunluğuna bağlıdır.

Ay ve Güneş'in kütleçekim etkileri (aynı zamanda gelgitlerin nedeni olan) Dünya'nın yerçekimi kuvvetinin görünür gücü üzerinde çok küçük bir etkiye sahiptir ve bu etki, onların göreli konumlarına bağlıdır; tipik değişimler bir gün boyunca 2 µm/s² (0,2 mGal) civarındadır.

Yön

Şakul topuzu yerel dikey yönü belirler.

Yerçekimi ivmesi, büyüklüğü yanı sıra yönü olan bir vektör niceliğidir. Küresel simetrik bir Dünya'da yerçekimi doğrudan kürenin merkezine yönelirdi. Ancak, Dünya'nın şekli hafifçe daha düz olduğundan, yerçekimi yönünde önemli sapmalar meydana gelir. Bu sapmalar, temel olarak jeodezik enlem ile jeosantrik enlem arasındaki farktır. Dağlar gibi yerel kütle anomalileri nedeniyle oluşan daha küçük sapmalar ise dikey sapma olarak adlandırılır.

Dünya çapında karşılaştırmalı değerler

Dünya genelinde çeşitli şehirlerde yerçekimi kuvvetinin hesaplanması için bazı kalıplar mevcuttur. Yüksek enlemli şehirlerdeki (Anchorage 9,826 m/s², Helsinki 9,825 m/s²) yerçekimi kuvvetinin ekvatorda bulunan şehirlere (Kuala Lumpur 9,776 m/s²) göre yaklaşık %0,5 daha büyük olduğu açıkça görülebilir. Rakımın etkisi ise Meksiko (9,776 m/s²; rakım 2.240 metre (7.350 ft)) ve yaklaşık olarak 39° Kuzey'de bulunan Denver (9,798 m/s²; 1.616 metre (5.302 ft)) ile Washington, D.C. (9,801 m/s²; 30 metre (98 ft)) şehirlerinin karşılaştırılması ile görülebilir. Ölçülen değerler, T.M. Yarwood ve F. Castle'ın "Physical and Mathematical Tables" kitabından (Macmillan, revize edilmiş baskı 1970) elde edilebilir.

Çeşitli şehirlerde yerçekimi nedeniyle meydana gelen ivme

Yer	m/s2	ft/s2		Yer	m/s2	ft/s2		Yer	m/s2	ft/s2		Yer	m/s2	ft/s2
Amsterdam	9,817	32,21		Kotagiri	9,817	32,21		Cakarta	9,777	32,08		Ottawa	9,806	32,17
Anchorage	9,826	32,24		Kandy	9,775	32,07		Paris	9,809	32,18		Atina	9,800	32,15
Kalküta	9,785	32,10		Perth	9,794	32,13		Auckland	9,799	32,15		Kuala Lumpur	9,776	32,07
Rio de Janeiro	9,788	32,11		Bangkok	9,780	32,09		Kuveyt Şehri	9,792	32,13		Roma	9,803	32,16
Birmingham	9,817	32,21		Lizbon	9,801	32,16		Seattle	9,811	32,19		Brüksel	9,815	32,20
Londra	9,816	32,20		Singapur	9,776	32,07		Buenos Aires	9,797	32,14		Los Angeles	9,796	32,14
Üsküp	9,804	32,17		Cape Town	9,796	32,14		Madrid	9,800	32,15		Stockholm	9,818	32,21
Chicago	9,804	32,17		Manchester	9,818	32,21		Sidney	9,797	32,14		Kopenhag	9,821	32,22
Manila	9,780	32,09		Taipei	9,790	32,12		Denver	9,798	32,15		Melbourne	9,800	32,15
Tokyo	9,798	32,15		Frankfurt	9,814	32,20		Meksiko	9,776	32,07		Toronto	9,807	32,18
Havana	9,786	32,11		Montreal	9,809	32,18		Vancouver	9,809	32,18		Helsinki	9,825	32,23
New York	9,802	32,16		Washington, D.C.	9,801	32,16		Hong Kong	9,785	32,10		Lefkoşa	9,797	32,14
Wellington	9,803	32,16		İstanbul	9,808	32,18		Oslo	9,825	32,23		Zürih	9,807	32,18

Matematiksel modeller

Arazi deniz seviyesindeyse, Jeodezik Referans Sistemi 1980 için, enlemi ${\displaystyle \phi }$ olan yerdeki ${\displaystyle g\{\phi \}}$ ivme tahmin edilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}g\{\phi \}&=9,780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0,0053024\,\sin ^{2}\phi -0,0000058\,\sin ^{2}2\phi \right),\\&=9,780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0,0052792\,\sin ^{2}\phi +0,0000232\,\sin ^{4}\phi \right),\\&=9,780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1,0053024-0,0053256\,\cos ^{2}\phi +0,0000232\,\cos ^{4}\phi \right),\\&=9,780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1,0026454-0,0026512\,\cos 2\phi +0,0000058\,\cos ^{2}2\phi \right)\end{aligned}}}$

Bu, Uluslararası Yerçekimi Formülü 1967, 1967 Jeodezik Referans Sistemi Formülü, Helmert denklemi veya Clairaut'un formülüdür.^[16]

Enlemin bir fonksiyonu olarak g için alternatif bir formül, WGS (Dünya Jeodezik Sistemi) 84 Elipsoidal Yerçekimi Formülü'dür:^[17]

${\displaystyle g\{\phi \}=\mathbb {G} _{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right],\,\!}$

Burada,

• ${\displaystyle a,\,b}$ sırasıyla ekvatoral ve kutupsal yarı eksenlerdir;
• ${\displaystyle e^{2}=1-(b/a)^{2}}$ küremsi eksantrikliğin karesidir;
• ${\displaystyle \mathbb {G} _{e},\,\mathbb {G} _{p}\,}$ sırasıyla ekvatorda ve kutuplarda tanımlanan yerçekimidir;
• ${\displaystyle k={\frac {b\,\mathbb {G} _{p}-a\,\mathbb {G} _{e}}{a\,\mathbb {G} _{e}}}}$ (formül sabiti);

Daha sonra, burada ${\displaystyle \mathbb {G} _{p}=9,8321849378\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}}$,^[17]

${\displaystyle g\{\phi \}=9,7803253359\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\left[{\frac {1+0,001931852652\,\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-0,0066943799901\,\sin ^{2}\phi }}}\right]}$ olarak kabul edilir.

Burada Dünya'nın yarı-eksenleri:

${\displaystyle a=6378137,0\,\,{\mbox{m}}}$

${\displaystyle b=6356752,314245\,\,{\mbox{m}}}$ olarak kabul edilir.

WGS-84 formülü ile Helmert denklemi arasındaki fark 0,68 μm·s⁻²'den azdır.

Kaynakça

1. Boynton, Richard (2001). "Precise Measurement of Mass" (PDF). Sawe Paper No. 3147. Arlington, Texas: S.A.W.E., Inc. 27 Şubat 2007 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Ocak 2007.
2. Hofmann-Wellenhof, B.; Moritz, H. (2006). Physical Geodesy (2. bas.). Springer. ISBN 978-3-211-33544-4. § 2.1: "The total force acting on a body at rest on the earth’s surface is the resultant of gravitational force and the centrifugal force of the earth’s rotation and is called gravity."
3. Taylor, Barry N.; Thompson, Ambler, (Ed.) (Mart 2008). The international system of units (SI) (PDF). National Institute of Standards and Technology. s. 52. NIST special publication 330, 2008 edisyonu. 1 Mart 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 18 Mart 2023.
4. Hirt, Christian; Claessens, Sten; Fecher, Thomas; Kuhn, Michael; Pail, Roland; Rexer, Moritz (28 Ağustos 2013). "New ultrahigh-resolution picture of Earth's gravity field". Geophysical Research Letters. 40 (16): 4279-4283. Bibcode:2013GeoRL..40.4279H. doi:10.1002/grl.50838. hdl:20.500.11937/46786.
5. ""Wolfram|Alpha Gravity in Kuala Lumpur", Wolfram Alpha, Kasım 2020 tarihinde erişilmiştir". 1 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Nisan 2021.
6. Terry Quinn (2011). From Artefacts to Atoms: The BIPM and the Search for Ultimate Measurement Standards. Oxford University Press. s. 127. ISBN 978-0-19-530786-3.
7. Resolution of the 3rd CGPM (1901), page 70 (cm/s² olarak). BIPM – Resolution of the 3rd CGPM 14 Mayıs 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
8. "GEODETIC REFERENCE SYSTEM 1980" (PDF). International Association of Geodesy. 20 Şubat 2016 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 31 Mayıs 2022.
9. "Gravitational Acceleration Calculator". sanjaysplanet.com. 19 Mart 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 31 Mayıs 2022.
10. "Curious About Astronomy?" 17 Ocak 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Cornell University, Haziran 2007'de erişilmiştir
11. "I feel 'lighter' when up a mountain but am I?" 27 Şubat 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., National Physical Laboratory FAQ
12. "The G's in the Machine" 21 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., NASA, bkz. "Editor's note #2"
13. A. M. Dziewonski, D. L. Anderson (1981). "Preliminary reference Earth model" (PDF). Physics of the Earth and Planetary Interiors. 25 (4): 297-356. Bibcode:1981PEPI...25..297D. doi:10.1016/0031-9201(81)90046-7. ISSN 0031-9201.^{[ölü/kırık bağlantı]}
14. Tipler, Paul A. (1999). Physics for scientists and engineers (4. bas.). New York: W.H. Freeman/Worth Publishers. ss. 336–337. ISBN 9781572594913.
15. Watts, A. B.; Daly, S. F. (Mayıs 1981). "Long wavelength gravity and topography anomalies". Annual Review of Earth and Planetary Sciences. 9: 415-418. Bibcode:1981AREPS...9..415W. doi:10.1146/annurev.ea.09.050181.002215.
16. International Gravity formula 20 Ağustos 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
17. "Department of Defense World Geodetic System 1984 ― Its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems,NIMA TR8350.2, 3rd ed., Tbl. 3.4, Eq. 4-1" (PDF). 11 Nisan 2014 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 15 Ekim 2015.