Loading AI tools
Vikipedi'den, özgür ansiklopediden
Kalkülüste Taylor teoremi, türevi tanımlı bir işleve bir nokta çevresinde, katsayıları yalnızca işlevin o noktadaki türevine bağlı olan polinomlar cinsinden bir yaklaştırma dizisi üreten bir sonuçtur. Teorem, yaklaştırma hesaplamalarındaki hata payına ilişkin kesin sonuçlar da verebilmektedir. Brook Taylor adlı matematikçinin 1712 yılında yaptığı çalışmalarından[1] ötürü ismi bu şekilde anılan teoremin aslında bundan 41 yıl önce (1671 yılında) James Gregory tarafından bulunduğu bilinmektedir.
Taylor teoremine göre k defa türevlenebilir bir fonksiyona, verilen bir noktada yakınsayan k derece polinoma Taylor polinomu denir. Birinci derece Taylor polinomu doğrusal yaklaşım (İngilizce: linear approximation) olarak, ikinci derece Taylor polinomuysa karesel yaklaşım (İngilizce: quadratic approximation) olarak da bilinir.[2]
Eğer f(x) gerçel fonksiyonu x = a noktasında türevlenebilir ise, bu noktada doğrusal yaklaşımı var demektir. Dolayısıyla, aşağıdaki gibi bir h1(x) fonksiyonu vardır:
Burada
terimi, f(x)'in x = a noktasındaki doğrusal yaklaşımıdır ve grafiği f(x)'e teğettir. Yaklaşım hatası aşağıdaki gibi hesaplanır:
x değişkeni a değerine yaklaştıkça, bu hata 'ten daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır, dolayısıyla yaklaşımı kullanışlıdır.
Daha iyi bir tahmin bulmak için f(x)'e bir karesel polinom yaklaştırabiliriz:
f(x)'in x = a'da yalnız bir türevini eşleştirmek yerine, hem birinci hem de ikinci türevlerini bu polinomla temsil edebiliriz.
Taylor teoremine göre, karesel yaklaşım x=a'nın yeterince küçük bir mahalinde doğrusal yaklaşımdan daha isabetli bir tahmin sunar. Aşağıdaki yaklaşıma göre
Hata değeri
x değişkeni a değerine yaklaştıkça, 'den daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır.
Bu şekilde daha üst dereceden polinomlar kullanarak daha doğru bir yaklaşım elde edilebilir. Bunun sebebi, yaklaşım polinomunun verilen noktada f'nin daha üst dereceden türevleriyle eşleşmesidir.
Genel olarak, x a'ya yaklaşırken, k dereceden bir yaklaşım polinomunun hatasının sıfıra yaklaşma hızı, 'nin yaklaşma hızından daha fazladır. Ancak, sonsuz derecede türevlenebilir olsa dahi isabetli bir yaklaşımı bulunmayan fonksiyonlar da vardır. Bu fonksiyonların x = a'da analitik olmadığı söylenir. Yani fonksiyon bu nokta ve çevresinde türevleriyle belirlenemez.
Taylor teoreminin en basit halinin açık ifadesi şöyledir:[3][4][5]
Taylor teoremindeki polinom f fonksiyonunun a noktasındaki k dereceden Taylor polinomudur:
Taylor polinomu biricik "asimtotik en uygun" polinomdur. Yani, aşağıdaki gibi hk : R → R fonksiyonu ve k dereceden polinom p varsa
o halde p = Pk'dir. Taylor teoremi kalan terim'in asimptotik davranışını ifade eder:
Bu terim, f bir Taylor polinomuyla tahminlendiğindeki yaklaşım hatasıdır.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.