Matematikte, hiperbolik fonksiyonlar sıradan trigonometrik fonksiyonların analogudur. Temel hiperbolik fonksiyonlar hiperbolik sinüs "sinh", hiperbolik kosinüs "cosh", bunlardan türetilen hiperbolik tanjant "tanh"[1] ve benzer fonksiyonlardır. Ters hiperbolik fonksiyonlaralan hiperbolik sinüsü "arsinh" ("asinh" ya da "arcsinh" olarak da gösterilir)[2] ve benzeri fonksiyonlardır.
Hiperbolik açı adı verilen gerçek bağımsız değişkenler için hiperbolik fonksiyonların değeri de gerçektir. Karmaşık analizde ise basitçe üstel fonksiyonlarınrasyonel fonksiyonlarıdır, dolayısıyla meromorf fonksiyonlardır.
Hiperbolik fonksiyonlar, 1760'larda birbirlerinden bağımsız olarak Vincenzo Riccati ve Johann Heinrich Lambert tarafından tanımlanmıştır.[3] Riccati dairesel fonksiyonlar için Sc. ve Cc. ([co]sinus circulare) hiperbolik fonksiyonlar için ise Sh. ve Ch. ([co]sinus hyperbolico) kısaltmalarını kullanmıştır. Lambert aynı isimleri kullanmış ancak kısaltma olarak günümüzde kullanılan kısaltmaları kullanmıştır.[4]sh ve ch kısaltmaları Fransızca ve Rusça gibi bazı dillerde günümüzde de kullanılmaktadır.
(a) cosh(x) ex ve e−x fonksiyonlarının ortalamasıdır
(b) sinh(x) ex ile e−x fonksiyonlarının farkının yarısıdır
(a) cosh ve (b) sinh hiperbolik fonksiyonları ve üstel fonksiyonları kullanılarak elde edilmiştir
Hiperbolik fonksiyonlar şunlardır:
Hiperbolik sinüs:
Hiperbolik kosinüs:
Hiperbolik tanjant:
Hiperbolik kotanjant:
Hiperbolik sekant:
Hiperbolik kosekant:
Hiperbolik fonksiyonlar karmaşık düzlemde dairesel açılarla da ifade edilebilir:
Kabul edilen konvansiyon gereği, sinh2x, (sinh x)2 anlamına gelir ve sinh(sinh x) demek değildir. Bu kabul pozitif üstler ile diğer hiperbolik fonksiyonlar için de geçerlidir. Hiperbolik kotanjant fonksiyonu ctnhx olarak da yazılır ama cothx gösterimi daha yaygındır.
Diğer fonksiyonlar için de şu özdeşlikler sağlanır
Hiperbolik tanjant nonlineersınır değeri probleminin çözümüdür:[5]
;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}
coshx eğrisinin altındaki alanın her zaman yay uzunluğuna eşit olduğu gösterilebilir:[6]
C sabit sayıdır.
Yukarıdaki fonksiyonları Taylor dizisi olarak da göstermek mümkündür:
sinhx fonksiyonunun Taylor dizisi gösteriminde x için yalnızca tek üstel bileşenler bulunur. Tek fonksiyon olduğundan ötürü −sinhx=sinh(−x) ve sinh0=0 doğrudur.
coshx fonksiyonunun Taylor dizisi gösteriminde x için yalnızca çift üstel bileşenler bulunur. Dolayısıyla çift fonksiyondur yani y-eksenine göre simetriktir. sinh ve cosh dizilerinin toplamı üstel fonksiyonunsonsuz dizi gösterimidir.
Hiperbolik fonksiyonlar trigonometrik özdeşliklere biçimsel olarak benzeyen birçok özdeşliği sağlar. Aslında, Osborn kuralı[7] herhangi bir trigonometrik özdeşliğin, sinüs ve kosinüslerin üstlerinin integrali olarak genişletildiğinde, sinüsün sinh'a, kosinisün cosh'a değiştirilmesi ve 2, 6, 10, 14, ... sinh çarpımı içeren tüm terimlerin işaretinin değiştirilmesiyle hiperbolik özdeşlikler elde edileceğini gösterir. Örneğin toplama teoremleri:
"çift değişken formülleri"
ve "yarım değişken formülleri":[8]Not: Dairesel karşılığının −1 ile çarpılmışına denktir.
Not: Dairesel karşılığına denktir..
sinhx 'in türevi coshx ve coshx 'in türevi sinhx 'tır. Bu dairesel fonksiyonlara benzer ancak işareti farklıdır (örneğin, cosx 'in türevi −sinx 'tir).
Gudermannian fonksiyonu karmaşık sayıları içermeyen hiperbolik fonksiyonlar ile dairesel fonksiyonlar arasında doğrudan bağıntıları verir.
acosh(x/a) fonksiyonunun grafiği zincir eğrisi, yani uniform esnek bir zincirin iki sabit noktadan asıldığında uniform yerçekimi kuvveti etkisiyle oluşturduğu eğridir.
Hiperbolik sinüs ve kosinüs tanımlarından aşağıdaki özdeşlikleri çekebiliriz:
ve
Bu gösterimler, karmaşık üstel fonksiyonların toplamı olarak, Euler denklemine göre sinüs ve kosinüs gösterimlerine benzerdir.
Herhangi bir karmaşık değişken için üstel fonksiyon tanımlanabildiği için hiperbolik fonksiyonların tanımları karmaşık değişkenlere de uygulanabilir. Dolayısıyla sinhz ve coshz fonksiyonları holomorf fonksiyondur.
Karmaşık sayılar için trigonometrik fonksiyonlar Euler denklemi ile verilir:
dolayısıyla:
Dolayısıyla hiperbolik fonksiyonlar (hiperbolik tanjant ve kotanjant için ) periyoduyla imajiner bileşen için periyodiktir.