ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต
From Wikipedia, the free encyclopedia
ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต, ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว (อังกฤษ: fundamental theorem of arithmetic หรือ unique factorization theorem) เป็นข้อความซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้วิธีเดียวเท่านั้นโดยไม่สนใจการเรียงลำดับ[1][2][3] ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน
- 6936 = 23 · 3 · 172 หรือ 1200 = 24 · 3 · 52
และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นอย่างอื่น ถ้าเราไม่สนใจลำดับของตัวประกอบ
เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบที่สนใจเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น หากเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น
ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม 1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น
ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า โดเมนแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมไปถึงโดเมนไอดีลมุขสำคัญ (principal ideal domain หรือ PID) โดเมนยูคลิเดียน (Euclidean domain) และริงพหุนามเหนือฟีลด์[4] ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งที่ทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาซับซ้อน
เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราจะถือว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)