குறி (கணிதம்)

கணிதத்தில், ஒரு மெய்யெண்ணின் குறி (sign) என்பது அவ்வெண்ணானது நேர்மமா, எதிர்மமா அல்லது பூச்சியமா என்பதை அறிய உதவுகிறது. சில சூழல்களில் குறியிட்ட பூச்சியம் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. தேவைப்படும் சூழலின் வழமையைப் பொறுத்து பூச்சியத்தை நேர்மமற்றதாகவோ அல்லது எதிர்மமற்றதாகவோ கொள்ளலாம்; மாறாக நேர்மமாகவும் எதிர்மமாகவும் எடுத்துக்கொள்ளலாம். ^[1]

கூட்டல், கழித்தல் குறிகள், ஓர் எண்ணின் குறியைக் காட்டுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

கணிதத்திலும் இயற்பியலிலும் "குறி மாற்றம்" ("change of sign") என்ற தொடரானது கூட்டல் நேர்மாறை உருவாக்குவதைக் (எதிர்மறையாக்கம் அல்லது -1 ஆல் பெருக்கல்) குறிப்பதோடு அச்செயலை மெய்யெண்களுக்கு மட்டுமானதாக இல்லாமல் வெவ்வேறு பொருட்களுக்கும் நீட்டிக்கிறது (எடுத்துக்காட்டாக, திசையன்கள், அணிகள், சிக்கலெண்கள்).

ஓர் எண்ணின் குறி

முழு எண்கள், விகிதமுறு எண்கள், சிக்கலெண்கள், நான்கன்கள், எண்மன்கள், ... போன்ற வெவ்வேறு எண்முறையினங்களிலுள்ள எண்கள், அவற்றின் குறிப்பிட்ட பண்புகளைக் காட்டும் சில கூறுகளைக் கொண்டுள்ளன:

வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையமாக அமையும் எண் கணங்களில்,

• அவற்றின் ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் கூட்டப்படும்போது அதே உறுப்பாகவே விடை வரும்படியாக ஒரு தனித்த எண்ணொன்று இருக்கும். இந்த தனித்த எண்ணானது அந்த எண் கணத்தின் "கூட்டல் சமனி" அல்லது கூட்டல் முற்றொருமை என அழைக்கப்படும். பொதுவாக இந்த உறுப்பு '0' என குறிக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, முழுவெண்களின் கணம் ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையம். இதிலுள்ள '0' முழுவெண் கணத்தின் கூட்டல் முற்றொருமை ஆகும் ('0' உடன் எந்த முழுவெண்ணைக் கூட்டினாலும் அந்த முழுவெண்ணே விடையாக வரும்).

• வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையத்தின் 'முழு வரிசைப்' பண்பின் காரணமாக இதில் "நேர்ம எண்கள்" என அழைக்கப்படும் பூச்சியத்தைவிடப் பெரிய எண்கள் இருக்கும்.

• வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையமாக ஒரு எண் கணம் இருந்தால் அதன் ஒவ்வொரு நேர்ம எண்ணுக்கும், அந்த எண்ணுடன் கூட்டப்படும்போது 0 விடை வரும்படியான ஒரு தனித்த, 0வை விடச் சிறிய எண் (எதிர்ம எண்) இருக்கும். இத்தகைய தனித்த, 0வை விடச் சிறிய எண்கள் "எதிர்ம" எண்கள் எனப்படுகின்றன. இத்தகைய ஒவ்வொரு சோடி எண்களிலுமுள்ள எண்கள் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று கூட்டல் நேர்மாறுகளாகும்.

ஓர் எண்ணானது இவ்வாறு ஒன்று பூச்சியமாக (0) அல்லது நேர்மமாக (+), அல்லது எதிர்மமாக (−) இருக்கும் பண்புக்கூறானது அவ்வெண்ணின் "குறி" எனப்படும். இக்குறியானது, குறிச் சார்பில் வரையறுக்கப்படுவதுபோலவே, 0, 1, −1 என்ற மூன்று மெய்யெண்களுடன் இடுகுறியாக்கம் செய்யப்படுகிறது.^[2]

மெய்யெண்கள் கணமும் விகிதமுறு எண்களின் கணமும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையங்களாக (அவை வரிசைப்படுத்தப்பட்ட களங்களாகவும் இருக்கும்) இருப்பதால் குறி என்ற பண்புக்கூறு இக்கணங்களுக்கும் பொருந்தும்.

"−" குறியானது இரு எண்களுக்கு இடையில் இடப்படும்போது ஈருறுப்புச் செயலி யான கழித்தலைக் குறிக்கும். ஓர் எண்ணுக்கு முன்புறமாக கழித்தல் குறியீடு இடப்பட்டால் அது அந்த எண்ணின் கூட்டல் நேர்மாற்றைத் தரும் ஓருறுப்புச் செயலியைக் குறிக்கும்.

இரு எண்களின் வித்தியாசம் என்பது, முதல் எண்ணுடன் கழிக்கப்படும் எண்ணின் கூட்டல் நேர்மாற்றைக் கூட்டுவதாகும். 0 இன் கூட்டல் நேர்மாறு அதுவே ஆகும்: (−0 = 0). ஒரு நேர்ம எண்ணின் கூட்டல் நேர்மாறு ஒரு எதிர்ம எண்ணாகும்; ஒரு எதிர்ம எண்ணின் நேர்மாறு ஒரு நேர்ம எண்ணாகும். கூட்டல் நேர்மாறு காண்பதை இருமுறை செய்தல்: −(−3) = 3. கூட்டல் குறியானது இயற்கணிதத்தில் ஈருறுப்புச் செயலியான கூட்டலைக் குறிப்பதற்குத்தான் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது; நேர்மத்தன்மையை குறிப்பதற்கு அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எண்கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படும் பொதுவான எண்குறி முறைமையில் ஓர் எண்ணின் குறியானது வெளிப்படையாக அந்த எண்ணுக்கு முன்பாக இடப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 'நேர்ம எண் மூன்று' என்பது +3 எனவும் 'எதிர்ம எண் 3' என்பது −3 எனவும் எழுதப்படுகிறது. ஓர் எண்ணின் முன்பாக எந்தவொரு குறியும் இடப்படாமல் இருந்தால் அந்த எண் நேர்ம எண்ணாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படும். இக்குறியீட்டு முறையானது எதிர்ம எண்களோடு "−" குறிக்கும், நேர்ம எண்களோடு "+" குறிக்குமுள்ள தொடர்பை நிலைப்படுத்துகிறது.

பூச்சியத்தின் குறி

பூச்சியம் என்பது நேர்ம எண்ணுமில்லை மற்றும் எதிர்ம எண்ணுமில்லை என்ற கருத்தைக்கொண்டு, 0 இன் எண் மதிப்புக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட குறி-மதிப்பை இடலாம். எனினும் இது ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$-சார்பின் மெய்யெண்களுக்கான வரையறையில் மீறப்பட்டுள்ளது..^[2] எண்கணிதத்தில் +0, −0 என்ற இரண்டுமே ஒரேயெண்ணான 0வைத்தான் குறிக்கிறது.

சில சூழல்களில், குறிப்பாகக் கணினி கணித்தல்களில் வெவ்வேறான தனி எண் உருவகிப்புகளைச் சுட்டுவதற்காகக் குறியிட்ட பூச்சியங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

அரிதாக +0, −0 என்ற குறியீடுகள் 0⁺, 0⁻ என்பவற்றுக்குப் பதிலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, நுண்கணிதத்திலும் கணிதப் பகுவியலிலும் ஒரு-பக்க எல்லைகளைக் குறிக்க (முறையே வலப்பக்க எல்லை மற்றும் இடப்பக்க எல்லை), அதாவது சார்பின் மெய் உள்ளீட்டெண், 0வை நேர்ம/எதிர்ம மதிப்புகளிலிருந்து நெருங்குகிறது என்பதைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சிக்கலெண்கள்

சிக்கலெண்களுக்கு "வரிசை"ப் பண்பு இல்லாததால் சிக்கலெண்களின் கணமானது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையமாக இருக்க முடியாது. இதனால் சிக்கலெண்கள் கணத்தை நேர்ம சிக்கலெண்கள், எதிர்ம சிக்கலெண்கள் என இரண்டாகப் பிரிக்கவும் முடியாது. எனினும் மெய்யெண்களைப் போலவே சிக்கலெண்களுக்கும் தனி மதிப்பு அல்லது "மட்டுமதிப்பு" என்ற பண்புக்கூறு உள்ளது. இந்த மட்டுமதிப்புகள் எப்போதும் நேர்ம மெய்யெண்களாகவே இருக்கும்.

மேலும் எந்தவொரு பூச்சியமற்ற எண்ணுக்கும் அதன் தனி மதிப்பு எனப்படும் ஒரு நேர்ம மெய்யெண் உண்டு. எடுத்துக்காட்டக, −3, 3 ஆகிய இரண்டின் தனிமதிப்புகளுமே 3 ஆகும். அதாவது:

${\displaystyle \left|-3\right|=\left|3\right|}$

${\displaystyle \left|3\right|=\left|3\right|}$

பொதுவாக, எந்தவொரு மெய்யெண்ணையும் அதன் தனிமதிப்பையும் குறியையும் கொண்டு குறிக்கலாம். அதாவது ஒரு மெய்யெண், அதன் தனிமதிப்பு மற்றும் குறியின் பெருக்கலாக எழுதப்படலாம்:

${\displaystyle -3=\left|3\right|\times (-)}$

${\displaystyle +3=\left|3\right|\times (+)}$

மெய்யெண்களுக்கான இத்தொடர்பைப் பயன்படுத்தி சிக்கலெண்களுக்கும் "குறி"யை வரையறுக்கலாம்.

மெய்யெண்கள் கணம், சிக்கலெண்கள் கணம் இரண்டுமே களங்களாகவும் நேர்ம மெய்யெண்களையும் கொண்டிருக்கும் என்பதால் அவற்றின் ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற உறுப்பிற்கும் அந்த எண்ணின் எண்ணளவின் தலைகீழி எண் அந்தந்த கணத்திலேயே இருக்கும். எனவே இக்கணங்களில் ஒரு பூச்சியமற்ற எண்ணை அதன் தலைகீழியின் எண்ணளவின் தலைகீழியால் பெருக்குவது அதாவது ஒரு பூச்சியமற்ற எண்ணை அதன் எண்ணளவின் தலைகீழியால் வகுப்பது சாத்தியமாகும். இதிலிருந்து ஒரு பூச்சியமற்ற எண்ணை அதன் எண்ணளவின் தலைகீழியால் வகுத்தால் அவ்வெண்ணின் "குறி" கிடைக்குமென்பதை அறிந்து கொள்ளலாம்:

${\displaystyle {\frac {-3}{|3|}}=-}$

${\displaystyle {\frac {3}{|3|}}=+}$

மெய்யெண்களுக்குப் பொருந்தும் இக்கூற்றை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். அதாவது:

• சிக்கலெண் z இன் குறி, ${\displaystyle z}$ ஐ அதன் மட்டுமதிப்பு ${\displaystyle |z|}$ ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும்:

${\displaystyle {\frac {z}{|z|}}=z}$ இன் குறி

• போலார் வடிவில் ஒரு சிக்கலெண்ணின் குறியானது அதன் கோணவீச்சு மற்றும் கற்பனை அலகின் பெருக்கற்பலனின் அடுக்கேற்ற மதிப்பாக இருக்கும்: ${\displaystyle e^{i\varphi }}$

வழக்கப்படியான குறிகள்

சமமான இரு சாத்தியக்கூறுகள் மட்டுமேயுள்ள சூழல்களில் அவ்விரு சாத்தியக்கூறுகளும் முறையே + மற்றும் - குறிகளால் அடையாளப்படுத்தப்[படுகின்றன. சில இடங்களில் இவ்வாறு அடையாளமிடப்படும் முறை இயல்பாகவும் வேறுசில இடங்களில் குறிப்பற்றும் இருக்கும். இதனால் குறியிடுவதை வழக்கப்படுத்த வேண்டிய அவசியம் எழுகிறது.

கோணத்தின் குறி

x-அச்சிலிருந்து அளக்கபடும் ஓரலகு வட்டத்தின் மீதமைந்த கோணங்கள் இடஞ்சுழி திசையில் அளக்கப்பட்டால் நேர்மம்; வலஞ்சுழி திசையில் அளக்கப்பட்டால் எதிர்மம்.

திசையிட்ட கோணங்கள், சுழற்சியின் கோணங்கள் போன்ற பல இடங்களில் கோணங்களின் அளவுகளுக்கு குறிகள் இணைக்கப்படுகின்றன. கோணத்துடன் இணைக்கப்படும் கூறிகள் அக்கோணங்கள் வலஞ்சுழியாக அமைகின்றனவா அல்லது இடஞ்சுழியாக அமைகின்றனவா என்பதைக் காட்டுகின்றன. இவ்வாறு கோணங்களுக்கு குறி இணைப்பதில் வெவ்வேறு வகைகள் இருந்தாலும், இடஞ்சுழி கோணங்களுக்கு நேர்மக் குறியையும் வலஞ்சுழி கோணங்களுக்கு எதிர்மக் குறியையும் இடுவதே பொதுவான வழக்கமாகவுள்ளது.^[3]

முப்பரிமாணத்திலும் சுழற்சி கோணத்திற்குக் குறிகளை இடலாம். அதற்கு சுழற்சியின் அச்சு திசையுடையதாகக் கொள்ளப்படும். திசையிட்ட அச்சைப் பொறுத்த வலக்கைச் சுழற்சி நேர்மக் குறியும், இடக்கை சுழற்சி எதிர்மக் குறியும் பெறுகின்றன.

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு கோணத்தின் எதிர்மக் கோணமானது அளவில் மூலக் கோணத்திற்குச் சமமானதாக இருக்கும்; ஆனால் அதன் அச்சு எதிர்த்திசையினதாக இருக்கும்.^[4]

மாற்றத்தின் குறி

ஒரு பொருள் x காலத்தைப் பொறுத்து மாறும்போது, அதன் மதிப்பில் ஏற்படும் மாற்றமானது கீழ்வரும் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படுகிறது. $${\displaystyle \Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.}$$

இந்த வழக்கத்தின்படி x இன் மதிப்பில் ஏற்படும் அதிகரிப்பு நேர்ம மாற்றமாகவும், x இன் மதிப்பில் ஏற்படும் குறைவு எதிர்ம மாற்றமாகவும் எடுத்துக்கொள்ளபடுகிறது. நுண்கணித்தத்திலும் வகையிடலின் வரையறையில் இதே குறியிடும் வழக்கம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. இதன்படி, கூடும் சார்பின் வகைக்கெழு நேர்மமாகவும், குறையும் சார்பின் வகைக்கெழு எதிர்மமாகவும் இருக்கும்.

திசையின் குறி

பகுமுறை வடிவவியலிலும், இயற்பியலிலும் ஒரு பரிமாண இடப்பெயர்ச்சிகள் மற்றும் நேர்கோட்டு இயக்கம் ஆகியவை குறித்த அலசல்களின்போது, சாத்தியமான இரு திசைகளை நேர்ம மற்றும் எதிர்ம திசைகளாக அடையாளப்படுத்துவது நடைமுறையிலுள்ளது. வழக்கமாக எண் கோடு நேர்ம எண்களை பூச்சியத்துக்கு வலப்புறமும், எதிர்ம எண்களை இடப்புறமும் கொண்டவாறு வரையப்படுகிறது. இதனால் வலப்பக்க இயக்கங்களுக்கு நேர்மக் குறியும் இடப்பக்க இயக்கங்களுக்கு எதிர்மக் குறியும் அளிக்கப்படுகிறது.

காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் வலது மற்றும் மேல்நோக்கு திசைகள் நேர்மமாகக் கருதப்படுகின்றன. வலப்பக்கம் x-அச்சின் நேர்ம திசையாகவும், மேற்புறம் y-அச்சின் நேர்ம திசையாகவும் உள்ளன. ஒரு இடப்பெயர்ச்சித் திசையனைத் இரு திசையன் கூறுகளாகப் (கிடைமட்ட, செங்குத்துக் கூறுகள்) பிரித்தால், வலப்பக்க இயக்கத்திற்கு கிடைமட்டக் கூறு நேர்மமாகவும், இடப்பக்க இயக்கத்தின் கிடைமட்டக் கூறி எதிர்மமாகவும் இருக்கும்; மேல்நோக்கு இயக்கத்தின் செங்குத்துக்கூறு நேர்மமாகவும், கீழ்நோக்கு இயக்கத்தின் செங்குத்துக்கூறு எதிர்மமாகவும் இருக்கும்..

இதேபோல வேகம் எதிர்மமாக இருந்தால் திசைவேகம் எதிர்த்திசையிலமையும். அதாவது முன்னேறாமல் பின்னடையும்.

மேற்கோள்கள்

1. "Number Theory 1 - KeepNotes". keepnotes.com. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2023-10-22.
2. Weisstein, Eric W. "Sign". mathworld.wolfram.com (in ஆங்கிலம்). பார்க்கப்பட்ட நாள் 2020-08-26.
3. "Sign of Angles | What is An Angle? | Positive Angle | Negative Angle". Math Only Math. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2020-08-26.
4. Alexander Macfarlane (1894) "Fundamental theorems of analysis generalized for space", page 3, link via Internet Archive