ஈருறுப்புச் செயலி

கணிதத்தில், ஈருறுப்புச் செயலி அல்லது ஈருறுப்புச் செயல் (Binary operation) என்பது இரு செயலேற்பிகளைக் (operands) கொண்டு கணக்கிடும் ஒரு செயலாகும். எண்கணிதத்தின் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகிய செயல்கள் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு எளிய உதாரணங்களாகும்.

ஈருறுப்புச் செயலி ${\displaystyle \circ }$ என்பது, ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ ஆகிய இரு தருமதிப்புகளை ஒன்றிணைத்து ${\displaystyle x\circ y}$ என்ற பெறுமதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு விதியாகும்.

ஈருறுப்புச் செயலியை இரு தருமதிப்புகளைக் கொண்ட கணிதச் செயலாக முறைப்படுத்தலாம். ஆட்களத்தையும் இணையாட்களத்தையும் ஒரே கணமாகக் கொண்ட ஈருறுப்புச் செயலியானது அக்கணத்தின் மீதான "உள் ஈருறுப்புச் செயலி" (internal binary operation) எனப்படுகிறது. எண் கணிதத்தின் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் ஆகியவை உள் ஈருறுப்புச்ச் செயலிக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். திசையன், அணிப்பெருக்கல், இணையியத் தொகுதி போன்ற கணிதத்தின் பிற கிளைகளிலும் இதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் அமைந்துள்ளன.

வெவ்வேறு கணங்களைக் கொண்டமையும் இரு தருமதிப்புடைய கணிதச் செயல்களும் ஈருறுப்புச் செயல்களென அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் வெளியின் திசையிலிப் பெருக்கலானது ஒரு திசையிலியையும் ஒரு திசையனையும் தருமதிப்புகளாகக் கொண்டு மற்றொரு திசையனைப் பெறும் கணிதச் செயலாகும். இதேபோல, புள்ளிப் பெருக்கல் இரு திசையன்களை தருமதிப்புகளாகக் கொண்டு மற்றொரு திசையனை விளைவாகப் பெறும் கணிதச் செயலாகும். இத்தகு ஈருறுப்புச் செயலிகள் ஈருறுப்புச் சார்புகள் எனப்படுகின்றன.

சொல்லியல்

கணம் Sன் மீதான ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியானது, கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் SxS லிருந்து Sக்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்புத் தொடர்பாகும்.(binary relation)^[1][2][3]

${\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.}$

f பகுதிச்சார்பாக இருந்தால், இச்செயலானது "பகுதி ஈருறுப்புச் செயலி" எனப்படும். (partial operation) எடுத்துகாட்டாக, எந்த ஒரு மெய்யெண்ணையும் பூச்சியத்தால் வகுக்க முடியாது என்பதால் மெய்யெண்களின் வகுத்தல் செயலானது ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலாகும்.

சில சமயங்களில், குறிப்பாக கணினி அறிவியலில், ஈருறுப்புச்செயலி என்பது ஈருறுப்புச் சார்பினைக் குறிக்கும். f இன் மதிப்பானது S கணத்தின் உறுப்பாகவே அமைவதால் ஈருறுப்புச் செயலி அடைவுப் பண்பு கொண்டதாக அமைகிறது.^[4]

நுண்புல இயற்கணித்தில், இயற்கணித அமைப்புகளான குலங்கள், ஒற்றைக்குலம், அரைக்குலம், வளையம் போன்றவற்றில் ஈருறுப்புச் செயலி முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது. பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. மெய்யெண் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் இரண்டும் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகள் கொண்ட ஈருறுப்புச் செயலிகள் ஆகும். மெய்யெண் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகள் இல்லாத ஈருறுப்புச் செயலிகள். பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் முற்றொருமை உறுப்புகளைம் நேர்மாறு உறுப்புகளையும் கொண்டிருக்கும்.

பண்புகளும் எடுத்துக்காட்டுகளும்

எண்கள் மற்றும் அணிகளின் கூட்டல் (${\displaystyle +}$), பெருக்கல், ஒரே கணத்தின் மீதமையும் சார்புகளின் தொகுப்பு ஆகிய செயல்கள் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு நல்ல எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.

• இரு மெய்யெண்களின் கூட்டுத்தொகையானது மீண்டுமொரு மெய்யெண்ணாகவே இருக்குமென்பதால், மெய்யெண்களின் கணம் ${\displaystyle \mathbb {R} }$ இன் மீதான ${\displaystyle f(a,b)=a+b,}$ என்பது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும்
• இரு இயலெண்களின் கூட்டுத்தொகையானது மீண்டுமொரு இயலெண்ணாகவே இருக்குமென்பதால், இயலெண்களின் கணம் ${\displaystyle \mathbb {N} }$ இன் மீதான ${\displaystyle f(a,b)=a+b,}$ என்பது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும்.
• ${\displaystyle 2\times 2}$ அணிகளில் ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ என்ற மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிகளின் கணத்தின் மீதான ${\displaystyle f(A,B)=A+B}$ ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி (ஏனெனில் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட இரு ${\displaystyle 2\times 2}$ அணிகளின் கூடுதலாகப் பெறப்படும் அணியும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட ${\displaystyle 2\times 2}$ அணிகளாகவே இருக்கும்).
• ${\displaystyle 2\times 2}$ அணிகளில் ${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ என்ற மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிகளின் கணத்தின் மீதான ${\displaystyle f(A,B)=AB}$ ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி (ஏனெனில் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட இரு ${\displaystyle 2\times 2}$ அணிகளின் பெருக்கலாகப் பெறப்படும் அணியும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட ${\displaystyle 2\times 2}$ அணிகளாகவே இருக்கும்).
• ${\displaystyle C}$ கணத்தின் மீதான ${\displaystyle h\colon C\rightarrow C}$ என வரையறுக்கப்படும் சார்புகளின் கணத்தை ${\displaystyle S}$ எனக் கொண்டு, ${\displaystyle f\colon S\times S\rightarrow S}$ என்ற சார்பை ${\displaystyle f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c)),\forall c\in C}$ என வரையறுக்க, ${\displaystyle f}$ ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாக இருக்கும் (ஏனெனில் ${\displaystyle C}$ மீது வரையறுக்கப்பட்ட இரு சார்புகளின் தொகுப்பும் ${\displaystyle C}$ மீதான மற்றொரு சார்பாக இருக்கும்).

இயற்கணிதம், முறைசார் ஏரணம் இரண்டிலுமுள்ள பல ஈருறுப்புச் செயலிகள்,

• பரிமாற்றுப் பண்பு

${\displaystyle f(a,b)=f(b,a),\forall a,b\in S}$ அல்லது

• சேர்ப்புப் பண்பு

${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))\forall a,b,c\in S}$ உள்ளவையாக இருக்கும்.

மேலும் பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் அவற்றுக்குரிய முற்றொருமை உறுப்புகளையும் நேர்மாறு உறுப்புகளையும் கொண்டிருக்கும். முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளும் பரிமாற்றுப் பண்பும் அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் சேர்ப்புப் பண்பும் கொண்டவை.

மெய்யெண்களின் கணம் ${\displaystyle \mathbb {R} }$ இன் மீதான கழித்தல் ${\displaystyle f(a,b)=a-b}$ செயலானது ஈருறுப்புச் செயலி. ஆனால் இச்செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.

${\displaystyle a-b\neq b-a}$;

${\displaystyle 2-3=-1}$ ஆனால் ${\displaystyle 3-2=1}$.

${\displaystyle a-(b-c)\neq (a-b)-c}$;

${\displaystyle 1-(2-3)=2}$ ஆனால் ${\displaystyle (1-2)-3=-4}$.

இயலெண்களின் கணம் ${\displaystyle \mathbb {N} }$ மீதான ${\displaystyle f(a,b)=a^{b}}$ என்ற அடுக்கேற்றச் செயலி ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும். ஆனால் இச்செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.

${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$

${\displaystyle f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))}$;

${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=3}$, ${\displaystyle c=2}$:

${\displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64}$, ${\displaystyle f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512}$.

முழு எண்களின் கணம் ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ மீதான ${\displaystyle f(a,b)=a^{b}}$ என்ற அடுக்கேற்றச் செயலி ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலியாகும். ஏனென்றால் ${\displaystyle a=0,}$ ${\displaystyle b}$ ஏதேனுமொரு எதிர்ம எண் என்ற நிபந்தனையில் இச்செயலி வரையறுக்கப்படவில்லை.

இயல் எண்கள் கணத்திலும் முழு எண்கள் கணத்திலும் அடுக்கேற்றம் எனும் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு வலது முற்றொருமை உறுப்பு (${\displaystyle 1}$) உண்டு:

${\displaystyle f(a,1)==a^{1}=a,\forall a\in \mathbb {N} ,\mathbb {Z} }$

எனினும், பொதுவாக ${\displaystyle f(1,b)=1^{b}\neq b}$ என்பதால் ${\displaystyle 1}$ என்பது முற்றொருமை உறுப்பு (இருபக்க முற்றொருமை) அல்ல.

மெய்யெண்கள் மற்றும் விகிதமுறு எண்களில் வகுத்தல் (${\displaystyle \div }$) செயலானது ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலாகும். மேலும் இதற்கு பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.

வெளி ஈருறுப்புச் செயலிகள்

"வெளி ஈருறுப்புச் செயலி" (external binary operation) என்பது ${\displaystyle K\times S}$ இலிருந்து ${\displaystyle S}$ க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும். வெளி ஈருறுப்புச் செயலியின் ஆட்களமும் இணையாட்களமும் ஒரெ கணமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. அதாவது, ${\displaystyle K}$ ஆனது ${\displaystyle S}$ ஆக இருக்கவேண்டியதில்லை.

இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தின்]] திசையிலி பெருக்கல் செயலானது வெளி ஈருறுப்புச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டாகும். திசையிலி பெருக்கலில் ${\displaystyle K}$ ஒரு களம்; ${\displaystyle S}$ ஆனது அந்தக் களத்தின் மீதான திசையன் வெளி.

இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் செயலானது ${\displaystyle S\times S}$ கணத்தை ${\displaystyle K}$ உடன் கோர்க்கிறது. இங்கு ${\displaystyle K}$ ஒரு களம்; அக்களத்தின் மீதான திசையன் வெளி ${\displaystyle S}$. புள்ளிப்பெருக்கல் செயலியானது ஈருறுப்புச் செயலியாக கொள்ளப்படுகிறதா என்பது நூலறிஞர்களைப் பொறுத்து அமைகிறது.

குறியீடுகள்

பொதுவாக ஈருறுப்புச்செயலிகள், a ∗ b, a + b, a · b ... என உள்ளொட்டுக் குறியீட்டுமுறையில் (infix notation) எழுதப்படுகின்றன. சில சமயங்களில் செயலி இல்லாமல் ab எனவும் எழுதப்படுகின்றன. வழக்கமாக அடுக்குகள், இரண்டாவது செயலுட்படுத்தியை மேல் குறியீடாகக் கொண்டு, அதற்கான செயலி (^) இல்லாமல்தான் எழுதப்படுகின்றன. சில சமயங்களில் ஈருறுப்புச்செயலிகளில் முன்னொட்டு (prefix) அல்லது பின்னொட்டுக் (postfix) குறியீட்டு முறைகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

குறிப்புகள்

1. Rotman 1973, pg. 1
2. Hardy & Walker 2002, pg. 176, Definition 67
3. Fraleigh 1976, pg. 10
4. Hall 1959, pg. 1

மேற்கோள்கள்

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-201-01984-1
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-13-067464-8
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd ed.), Boston: Allyn and Bacon

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Binary Operation", MathWorld.