Poincaréserie (modulär form)

Inom talteori är en Poincaréserie en matematisk serie som generaliserar de klassiska thetaserierna som associeras till en godtycklig diskret grupp av symmetrier av en komplex domän, möjligen av flera komplexa variabler. Speciellt generaliserar de de klassiska Eisensteinserierna. Poincaréserier är uppkallade efter Henri Poincaré.

Om Γ är en ändlig grupp med verkan på en domän D och H(z) är en godtycklig meromorfisk funktion över D kan man definiera en automorfisk funktion enligt

${\displaystyle \sum _{\gamma \in \Gamma }H(\gamma (z)).}$

Men om Γ är en diskret grupp måste andra faktorer introduceras för att garantera konvergens av serien. Till detta ändamål definieras en Poincaréserie som en serie av formen

${\displaystyle \theta _{k}(z)=\sum _{\gamma \in \Gamma ^{*}}(J_{\gamma }(z))^{k}H(\gamma (z))}$

där J_γ är Jacobideterminanten av gruppelementet γ^[1] och asterisken betyder att summeringen går enbart över sidoklassrepresentativer som ger skilda termer i serien.

Den klassiska Poincaréserien av vikt 2k av en Fuchsisk grupp Γ definieras som serien

${\displaystyle \theta _{k}(z)=\sum _{\gamma \in \Gamma ^{*}}(cz+d)^{-2k}H\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}$

där summeringen går över alla kongruensklasser av fraktionella linjära transformationer

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

som tillhör Γ. Genom att välja H som en karaktär av den cykliska gruppen av ordning n får man den så kallade Poincaréserien av ordning n:

${\displaystyle \theta _{k,n}(z)=\sum _{\gamma \in \Gamma ^{*}}(cz+d)^{-2k}\exp \left(2\pi in{\frac {az+b}{cz+d}}\right)}$

Den senare Poincaréseriem konvergerar absolut och likformigt i kompakta mängder (i övre planhalvan) och är en modulär form av vikt 2k för Γ. Notera att då Γ är den fulla modulära gruppen och n = 0 får man Eisensteinserien av vikt 2k. I allmänhet är Poincaréserien för n ≥ 1 en spetsform.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Poincaré series (modular form), 29 juni 2014.

• Kollár, János (1995), Shafarevich maps and automorphic forms, M. B. Porter Lectures, Princeton University Press, MR 1341589, ISBN 978-0-691-04381-4.
• Solomentsev, E.D. (2001), ”Theta-series”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.

1. Eller en mer allmän faktor av automorfi såsom diskuteras i Kollár 1995, §5.2.