Serie (matematik)

En serie är inom matematiken en addition av ett oändligt antal termer.^[1][2]

Om termerna närmar sig noll tillräckligt fort kan summan av en serie vara ändlig, även om antalet termer är oändligt. Man säger då att den konvergerar.

Termerna i serien utgörs oftast av olika typer av matematiska uttryck som beror på ordningstalet i serien.

Definition

En series summa definieras som gränsvärdet av ett antal delsummor. För en oändlig talföljd a_n definieras summan av serien Σ_na_n som^[1][2]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{k\rightarrow \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}}$

där

${\displaystyle s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}}$

är en delsumma. Om gränsvärdet inte existerar sägs serien divergera.

Ett exempel är talföljden a_n=1/2ⁿ, som har delsummor s₀=1; s₁=1+0,5=1,5; s₂=1+0,5+0,25=1,75...; man kan visa att s_k=2-1/2^k och att den tillhörande serien därmed konvergerar

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=2}$

Det finns serier som är divergenta i den vanliga meningen men ändå tilldelas en summa med hjälp av andra, svagare, definitioner av en series summa. Bland dessa kan nämnas Cesàrosummering, Abelsummering och Borelsummering. Även analytisk fortsättning kan användas för att tilldela serier summor.

Se även

• Fourierserie
• Teleskoperande serie
• Harmoniska serien
• Potensserie

Referenser och noter

1. Persson, Arne; Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2. uppl.). Lund: Studentlitteratur. sid. 170-171. Libris 8353145. ISBN 9144020562
2. Eriksson, Folke; Larsson, Eric; Wahde, Gösta (1996). Matematisk analys med tillämpningar, Del 3 (2. [rev.] uppl.). Göteborg. sid. 44-45. Libris 1887836

Vidare läsning

• Persson, Arne; Böiers Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2. uppl.). Lund: Studentlitteratur. Libris 8353145. ISBN 9144020562
• Spanne, Sven (2005). System och transformer. I, Tidsdiskreta lineära system och komplex analys. Lund: Matematikcentrum, Lunds tekniska högskola. Libris 10303365