Numerisk analys

Numerisk analys eller beräkningsvetenskap är en gren inom matematiken och datavetenskapen där lösningar fås med hjälp av numeriska beräkningar; läran om konstruktion och analys av algoritmer. Till skillnad från vanlig matematisk analys, den analytiska, utgår numeriken från analytiska uppställningar som kan delas in i stegintervall, diskretiseras, för att lösas.^[1]

Numeriken begränsas av de fel denna diskretisering medför, samt de problem som kommer från den analytiska uppställningen. En tredje felkälla är de avrundningsfel som uppstår på grund av datorernas oförmåga att representera godtyckliga reella tal. Avrundningsfelen är i många tillämpningar försumbara då man använder flyttal i dubbel precision, men den numeriska analysen tar hänsyn till situationer där så inte nödvändigtvis är fallet.

Historik

Även om matematik alltid har använts, var den först inriktad på att lösa rent praktiska behov.^{[förtydliga]} Liu Hui kom exempelvis 263 på en metod att lösa linjära ekvationssystem, så kallad Gausselimination.^{[förtydliga]} Med Nya tiden behövdes precisa positionsbestämningar, och lösningar med differenser, interpolation, extrapolation, med mera, utarbetades. Matematiker som Henry Briggs, Isaac Newton och Leonhard Euler ägnade alla mycket tid åt numeriska beräkningar. Under den tid som följde revolutionerade flera stora matematiska namn matematiken; Joseph Louis Lagrange, Laplace, Legendre, Gauss, och så vidare.^[2]

Under 1800-talet utvecklades de numeriska beräkningarna än mer. Carl Gustav Jacobi utarbetade en metod för matrisegenvärden, som på nytt började användas igen med de första datorerna 100 år senare. J.C. Adams angav en metod för att lösa ordinära differentialekvationer, exempelvis. Under 1900-talet försökte man lösa partiella differentialekvationer genom numerisk beräkning. Lewis Fry Richardson och Richard Courant blev stora namn inom området.^[2]

Även om de flesta metoder utvecklades av personer som Newton, Euler och Gauss m.fl., brukar man tillskriva införandet av datorer som den främsta orsaken till dess^{[förtydliga]} spridning. De första datorerna efter andra världskriget användes för att beräkna skjuttabeller och bombers sprängverkan. Personer som var viktiga inom denna nya gren var exempelvis John von Neumann och James Hardy Wilkinson.^[2]

Numerisk analys i Sverige

I Sverige gjordes stora insatser för att etablera numerisk analys som en akademisk disciplin under 1950- och 1960-talet av Carl-Erik Fröberg och Germund Dahlquist. Våren år 1956 deltog två studenter i den första kursen i numerisk analys vid Lunds Universitet, och detta var sannolikt den första kursen i numerisk analys i Sverige. Den enda som tenterade kursen var Kai Holmgren som sannolikt även var den första som avlade kandidatexamen i numerisk analys den 6 juni 1957.^[3][4] Tidskriften BIT Numerical Mathematics startades av Fröberg år 1961. KTH/NADA etablerades av Dahlquist år 1963.

Metoder

Ekvationer

Ekvationer på formen ${\displaystyle f(x)=0}$ brukar lösas med någon av följande metoder:

• Intervallhalvering
• Fixpunktsiteration
• Newton-Raphsons metod
• Sekantmetoden
• Bisektionsmetoden

Integraler

Bestämda integraler på formen ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$ kan approximeras genom numerisk integration, även kallad numerisk kvadratur. Två exempel på metoder för detta är:

• Trapetsregeln
• Simpsons metod

Ordinära differentialekvationer

Ordinära differentialekvationer brukar lösas med följande metoder.

• Eulers metod
• Taylorseriemetoder
• Heuns metod
• Mittpunktsmetoden
• Runge–Kuttametoden
• Extrapoleringsmetoden
• Flervärdesmetoden
• Trapetsmetoden

Partiella differentialekvationer

Lösning av partiella differentialekvationer är ett stort område inom numerisk analys. Två lösningsmetoder är:

• Finita differensmetoden
• Finita elementmetoden

Felanalys

• Fel
• Datafel
• Beräkningsfel
• Relativfel
• Lokala fel
• Globala fel
• Trunkeringsfel
• Avrundningsfel
• Noggrannhet
• Stabilitet (skeppsteknik)
• Stabilitet (flygmekanik)
• Tillämpad matematik
• Konditionering
• Kancellation
• Absolutgräns
• Relativgräns
• Felfortplantning

Referenser

Noter

1. analys numerisk analys i Nationalencyklopedins nätupplaga. Läst 16 maj 2011.
2. Nationalencyklopedin: Historik om Numerisk analys. Läst 2011-05-16.
3. Jan Engvald (16 oktober 2006). ”SMIL 50 år - seminarier kring Lunds första dator”. lu.se. Lunds universitet. Arkiverad från originalet den 17 februari 2020. https://web.archive.org/web/20200217102329/http://www.lth.se/digitalth/smil/. Läst 17 mars 2019.
4. Sofia, Lindgren (2008). Sofia Lindgren & Julia Peralta. red. ”Högre datautbildningar i Sverige i ett historiskt perspektiv”. Working Papers from the Division of History of Science and Technology (Kungl. Tekniska Högskolan) TRITA-HST 2008/18: sid. 10. ISSN 1103-5277. https://oru.diva-portal.org/smash/get/diva2:789555/FULLTEXT01.pdf. Läst 15 juni 2022.

Källor

• Higham, Nicholas J. (1996). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics.
• Gautschi, W. (1997). Numerical analysis. Springer Science & Business Media.
• Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley.
• Quarteroni, A., Sacco, R., & Saleri, F. (2010). Numerical mathematics. Springer Science & Business Media.
• Stoer, J., & Bulirsch, R. (2013). Introduction to numerical analysis. Springer Science & Business Media.
• Conte, S. D., & De Boor, C. (2017). Elementary numerical analysis: an algorithmic approach. Society for Industrial and Applied Mathematics.
• Greenspan, D. (2018). Numerical Analysis. CRC Press.
• Linz, P. (2019). Theoretical numerical analysis. Courier Dover Publications.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Numerisk analys.
  Bilder & media

Den här artikeln ingår i boken:  Matematik