Trapetsmetoden

Trapetsmetoden (ej att förväxla med trapetsregeln) är en numerisk metod för att lösa ordinära differentialekvationer som är begynnelsevärdesproblem. Trapetsmetoden är en implicit metod.

Metod

Givet en differentialekvation,

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0},}$

så uttrycks trapetsmetoden som

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+h{\frac {f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},y_{i+1})}{2}},\quad {t_{i+1}=t_{i}+h},}$

Där ${\displaystyle y_{n}\approx y(t_{n})}$ för ${\displaystyle n>0}$. Trapetsmetoden är implicit eftersom vi måste lösa ekvationen för ${\displaystyle y_{i+1}}$, till exempel genom Newtons metod, eller Eulers metod,om ${\displaystyle f(t,y)}$ är icke-linjär i ${\displaystyle y}$.

Motivering

Om vi integrerar differentialekvationen från ${\displaystyle t_{n}}$ till ${\displaystyle t_{n+1}}$ får vi (enligt insättningsformeln)

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$

Denna integral kan approximeras med trapetsregeln,

${\displaystyle \int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t\approx h{\frac {f(t_{n},y(t_{n}))+f(t_{n+1},y(t_{n+1}))}{2}},}$

vilket tillsammans med ${\displaystyle y_{n}\approx y(t_{n})}$ och ${\displaystyle y_{n+1}\approx y(t_{n+1})}$ ger trapetsmetoden,

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+h{\frac {f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},y_{i+1})}{2}},\quad {t_{i+1}=t_{i}+h},}$