Lillcirkel

En lillcirkel^[1] är inom geometri en cirkel på en sfär som inte är en storcirkel.

En lillcirkel på en sfär definieras av ett plan som inte går genom sfärens medelpunkt.

En lillcirkel definierar ett plan som inte innehåller sfärens medelpunkt (och därmed inte heller dess diameter^[2]) och varje plan som skär sfärens yta och ej går genom dess medelpunkt (och därför inte heller innehåller en diameter till sfären) definierar en lillcirkel.

Eftersom det största möjliga rätlinjiga avståndet mellan två punkter på en sfärs yta är en diameter, har en lillcirkel alltid mindre diameter (och därmed även radie) än sfären (och storcirklarna på densamma), vilket har som direkt följd att en lillcirkel har större krökning än sfären och storcirklarna på densamma.

Det plan som definieras av en lillcirkel är parallellt med ett och endast ett storcirkelplan och en sådan lillcirkel är en parallellcirkel^[3][4] till detta plan (och denna storcirkel). Den är även parallellcirkel till de övriga parallellcirklarna till planet och även storcirkeln själv räknas som en parallelcirkel (parallellcirklar är alltså de cirklar som bildas av med varandra inbördes parallella skärningsplan). Inom geodesi har punkterna på en parallellcirkel till ekvatorialplanet (och ekvatorn) samma latitud.^[5][6] Inom astronomi har punkterna på en parallelcirkel till himmelsekvatorn samma deklination och på en parallellcirkel till horisontalplanet samma altitud.

Eftersom den kortaste vägen mellan två punkter på en sfärs yta (en ortodrom^[7]) alltid är en storcirkelbåge, följer direkt att en lillcirkelbåge inte kan vara den kortaste vägen.

Lillcirkelplanet och lillcirkelns medelpunkt

En inre punkt^[8] M = (x_M, y_M, z_M) i en sfär, skild från sfärens medelpunkt O = (0, 0, 0)^[9], definierar en medelpunkt i en och endast en lillcirkel^[10]. Normalplanet till ortsvektorn ${\displaystyle {\vec {OM}}=(x_{M}-0,y_{M}-0,z_{M}-0)=(x_{M},y_{M},z_{M})}$ i punkten M, det vill säga planet som innefattar lillcirkeln som har M som medelpunkt, har således ekvationen

${\displaystyle x_{M}(x-x_{M})+y_{M}(y-y_{M})+z_{M}(z-z_{M})=0}$

Referenser

1. Lillcirkel i Nationalencyklopedin.
2. Eric W. Weisstein, Small circle och spheric section på Wolfram MathWorld.
3. Parallellcirkel (1) och parallellcirkel (2) i Nationalencyklopedin.
4. Parallellcirkel i SAOB.
5. Det bör dock påpekas att inom geodesi används en rotationsellipsoid i stället för en sfär, men med ekvatorialplanet parallella snitt på en rotationsellipsoid är cirkelformade!
6. Kartornas rutnät på Lantmäteriet.
7. Ortodrom i Nationalencyklopedin.
8. En punkt på sfärens yta definierar på samma sätt ett tangentplan till sfären i denna punkt.
9. Enligt definitionen för lillcirklar kan en lillcirkels plan inte innehålla sfärens medelpunkt. Denna är ju medelpunkt i alla storcirklar.
10. Eftersom linjen som går genom O och M går genom sfärens medelpunkt (O) så är sfären rotationssymmetrisk kring denna linje. Således har punkter på sfärens yta i ett normalplan till linjen samma avstånd till linjen - det vill säga ligger på samma cirkels, lillcirkelns, omkrets, där normalplanets skärningspunkt med linjen såklart är lillcirkelns medelpunkt.