Normalplan (geometri)

Ett normalplan är inom geometri ett plan som är vinkelrätt mot en linje eller ett annat plan. Ofta avses ett plan som går genom en punkt på en kurva i rummet, och som är vinkelrätt mot denna kurvas tangent i denna punkt.^[1][2]. I den aktuella punkten utgör alltså kurvans tangent en normal till normalplanet (vilket således spänns upp av vektorer i normalriktningen och binormalriktningen^[3] - se även Frenet–Serrets formler). I tredimensionell geometri har varje linje eller kurva ett normalplan i varje punkt längs linjen - är linjen rät är alla dessa normalplan parallella.

En röd kurva i rummet med en blå tangent. Det gröna planet är normalplan till såväl kurvan som tangenten i tangeringspunkten.

Det blå planet är tangentialplan till den röda ytan. Den blå vektorn är normalvektor till både det blå planet och den röda ytan (i tangeringspunkten). Det blå planet är normalplan till vektorn.

Normalplanet till en vektor a = (a_x, a_y, a_z) i punkten (x₀, y₀, z₀) ges av:^[4]

${\displaystyle a_{x}(x-x_{0})+a_{y}(y-y_{0})+a_{z}(z-z_{0})=0}$

Källor

1. Normalplan i Store norske leksikon
2. Normalplan i Den Store Danske Encyklopædi, läst 2014-06-29
3. Eric W. Weisstein, Normal plane på Wolfram MathWorld.
4. Ortsvektorn från (x₀, y₀, z₀) till varje punkt (x, y, z) i normalplanet, det vill säga en vektor som ges av b = (x-x₀, y-y₀, z-z₀), är (per definition) vinkelrät mot vektorn a och således är skalärprodukten a⋅b=0. Se även Eric W. Weisstein, Normal vector (ekvation 4) på Wolfram MathWorld.