Jämna och udda funktioner

Jämna och udda funktioner är matematiska funktioner som uppfyller vissa symmetrivillkor. En funktion ƒ(x) är jämn om ƒ(-x) = ƒ(x), udda om ƒ(-x) = -ƒ(x).

ƒ(x) = x² är ett exempel på en jämn funktion.

Funktionen y = x⁴ - 4x ² + 3 är en summa av termer av jämn potens, vilket gör den till en jämn funktion.

Grafen av ${\displaystyle y=x^{3}}$, en udda funktion.

Funktionen ${\displaystyle y=x^{3}+1}$ är varken udda eller jämn.

Jämna funktioners grafer är alltså symmetriska under spegling i y-axeln, medan udda funktioners är symmetriska under 180° rotation kring origo.

Namnen motiveras bland annat av att funktionerna ${\displaystyle x^{n}}$ för jämna n är jämna funktioner och udda för udda n, samt av att maclaurinutvecklingen av en jämn funktion bara har termer med jämna exponenter, och motsvarande för udda.

Exempel

Jämna funktioner:

• ${\displaystyle f(x)=x^{2}\,}$
• ${\displaystyle f(x)=\left|x\right|}$
• ${\displaystyle f(x)=\cos(x)\,}$
• Dirichlets funktion

Udda funktioner:

• ${\displaystyle f(x)=x\,}$
• ${\displaystyle f(x)=x^{3}\,}$
• ${\displaystyle f(x)=\sin x\,}$

Egenskaper

• Den enda funktionen som är både jämn och udda är den konstanta funktionen ${\displaystyle f(x)=0}$.
• Summan av en udda och en jämn funktion är varken udda eller jämn, såvida inte en av funktionerna är konstant noll.
• Summan av två udda funktioner är udda, och varje multipel av en udda funktion är udda.
• Summan av två jämna funktioner är jämn, och varje multipel av en jämn funktion är jämn.
• Produkten av både två udda eller två jämna funktioner är en jämn funktion.
• Produkten av en udda och en jämn funktion är en udda funktion.
• Kvoten av både två udda eller två jämna funktioner är jämn.
• Kvoten av en jämn och en udda funktion är udda.
• En sammansatt funktion av två udda funktioner är udda. En sammansättning av två jämna funktioner är jämn.
• En sammansatt funktion av en udda och en jämn funktion är jämn.
• Derivatan av en jämn funktion är udda (förutsatt att funktionen är deriverbar).
• Derivatan av en udda funktion är jämn (förutsatt att funktionen är deriverbar).
• Integralen av en udda funktion från -a till a är noll, dvs om f är udda:

${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)dx=0}$

• Integralen av en jämn funktion från -a till a är två gånger integralen från noll till a, dvs om g är jämn:

${\displaystyle \int _{-a}^{a}g(x)dx=2\int _{0}^{a}g(x)dx}$

Se även

• Paritet