Rationella tal

Rationella tal är inom matematiken tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:^[1]

{\frac {T}{N}}

där heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare.

Mängden av rationella tal betecknas vanligtvis med Q eller ℚ (från engelskans quotient). Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden av alla lösningar (x) till ekvationer ax - b = 0, där a och b är heltal och a är nollskilt.^[2]^[3]

Räkneregler

Om elementen i mängden ℚ ses som lösningar till ekvationen ax - b = 0, går det att härleda räkneregler för bråktal.

${b \over 1}=b$

Bråket b/1 löser ekvationen 1x - b = 0, det vill säga x = b. Eftersom ekvationen endast har en lösning, måste talen b/1 och b vara lika, det vill säga b/1 = b.

${n\cdot b \over n\cdot a}={b \over a},\quad n\neq 0$

Låt n vara ett nollskilt heltal. Bråket (nb)/(na) är en lösning till ekvationen (na)x - (nb) = 0. Genom att bryta ut den gemensamma faktorn n, kan ekvationen omformas till n(ax - b) = 0. Den enda möjligheten för denna ekvation att vara sann är om ax - b = 0, eftersom heltalet n är nollskilt. Men detta innebär att talet x – som ju var bråket (nb)/(na) – är lika med bråket b/a:

{\frac {n\cdot b}{n\cdot a}}={\frac {b}{a}}

${b \over a}+{d \over c}={bc+ad \over ac},\quad a\neq 0,\,c\neq 0.$

Bråket b/a är en lösning till ekvationen ax - b = 0, och bråket d/c är en lösning till ekvationen cy - d = 0. Det skall visas att talet x + y är en lösning till ekvationen (ac)z - (bc + ad) = 0, eftersom denna ekvation har en lösning som är bråket (bc + ad)/ac.

För att göra detta multipliceras x-ekvationen med heltalet c och y-ekvationen med heltalet a och de två erhållna ekvationerna adderas: (acx - bc) + (acy - ad) = 0. Denna nya ekvation omformas genom utbrytning av den gemensamma faktorn ac, vilket ger den sökta ekvationen ac(x + y) - (bc + ad) = 0.

Egenskaper

Sedd som en delmängd av de reella talen utgör de rationella talen en så kallad tät mängd; Detta innebär att det alltid finns ett annat rationellt tal mellan två rationella tal, och att varje reellt tal kan approximeras godtyckligt väl med ett rationellt tal.
De rationella talen utgör vad som kallas en uppräknelig mängd, vilket innebär att det i viss mening finns lika många rationella tal som det finns heltal. Detta kan tyckas vara motsägelsefullt, eftersom mängden av alla heltal är en äkta delmängd av ℚ; Detta följer av den första räkneregeln för bråktal som vi härledde ovan: b/1 = b där b är ett heltal.
Det faktum att man kan koppla samman varje rationellt tal med ett unikt heltal, och vice versa, gör att kardinaltalet för ℚ är lika med kardinaltalet för ℤ (mängden av alla heltal). På matematiskt språk säger man att det existerar en bijektiv avbildning mellan mängderna ℚ och ℤ.^[1]