Prothtal

Prothtal, uppkallat efter matematikern François Proth, är inom talteorin ett tal av formen

${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$

där ${\displaystyle k}$ är ett udda positivt heltal och ${\displaystyle n}$ är ett positivt heltal sådant att ${\displaystyle 2^{n}>k}$. Utan den sistnämnda termen skulle alla udda heltal större än 1 vara Prothtal.^[1]

De första Prothtalen är:

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 257, 289, 321, 353, 385, 417, 449, 481, 513, 545, 577, 609, 641, 673, 705, 737, 769, 801, 833, 865, 897, 929, 961, 993, 1025, 1089, 1153, 1217, 1281, 1345, 1409, … (talföljd A080075 i OEIS)

Cullental (n · 2ⁿ + 1) och Fermattal (2²ⁿ + 1) är specialfall av Prothtal.

Prothprimtal

Huvudartikel: Prothprimtal

Ett Prothprimtal är ett Prothtal som även är primtal.

De första Prothprimtalen är:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, 10369, 10753, 11393, 11777, 12161, 12289, 13313, … (talföljd A080076 i OEIS)

Om ett Prothtal är ett primtal kan testas med Proths sats som säger att ett Prothtal ${\displaystyle p}$ är primtal om och endast om det finns heltal ${\displaystyle a}$ för vilka följande gäller:^[2]

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\ {\pmod {p}}}$

Det största kända Prothprimtalet (2010) är ${\displaystyle 19249\cdot 2^{13018586}+1}$.^[3] Det hittades av Konstantin Agafonov och tillkännagavs den 5 maj 2007.^[4] Det är också det största kända icke-Mersenneprimtalet.^[5]

Se även

• Sierpinskital
• PrimeGird – ett distributed computing-projekt som söker efter stora Prothprimtal

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Proth number, 18 december 2013.

1. Weisstein, Eric W., "Proth Number", MathWorld. (engelska)
2. Weisstein, Eric W., "Proth's Theorem", MathWorld. (engelska)
3. Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth, from The Prime Pages.
4. Press Release by Seventeen or Bust Arkiverad 19 december 2013 hämtat från the Wayback Machine.. 5 May 2007.
5. Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes, from The Prime Pages.