Inre automorfi

En inre automorfi, T_h, är en gruppautomorfi på G sådan att T_h(g) = h^-1gh, där h är ett fixt element i G och g tillhör G. Gruppen av inre automorfier på G betecknas med Inn(G) och är isomorf med kvotgruppen G/Z_G, där Z_G är G:s centrum. Inn(G) är en normal delgrupp till automorfigruppen Aut(G).

Om till exempel G = D₄, som har åtta element och är en delgrupp till S₄, så är Inn(G) isomorf med G/Z_G. Eftersom Z_G = {I,ψ²} och alltså |G/Z_G| = 8/2 = 4, så finns det fyra inre automorfier på G, för h = I, φ, ψ respektive φψ, där I är den identiska avbildningen. Dessa fyra automorfier bildar gruppen av inre automorfier, Inn(D₄), på D₄ och är isomorf med Kleins fyrgrupp.

Om G är abelsk, så är Z_G = G och således finns endast en inre automorfi på G, den identiska avbildningen. För en icke-abelsk grupp, sådan att centrum för G endast består av enhetselementet, det vill säga att |Z_G| = 1, är Inn(G) isomorf med G.

Se även

• Yttre automorfi
• Gruppautomorfi

Källor

• I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell, New York 1964.
• B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin 1950.
• J.B. Fraleigh, Abstract Algebra, Addison-Wesley, New York 1967.