Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Haarmått är ett mått i lokalt kompakta topologiska grupper så att det är volyminvariant. Till exempel är Lebesguemåttet Haarmåttet i .
Låt vara en grupp.
Om och kallas mängden
för vänstertranslationen för A och mängden
för högertranslationen för A.
En sigma-algebra i är vänstertranslationsinvariant om
likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är högertranslationsinvariant.
Om är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är måttet vänstertranslationsinvariant om
likartat kan man definiera att ett mått är högertranslationsinvariant.
Låt vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs
Då är Borelmängderna en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.
Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått
som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått vänster-Haarmåttet.
Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått
som är vänster-translation-invariant som kallas höger-Haarmåttet.
Med utan konstant menas att Radonmåttet i är vänstertranslationsinvariant om och endast om det finns så att , likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.
Det finns grupper där , men om
i kallar vi måttet
för Haarmåttet.
där är ett element i den överliggande gruppen och är en Borelmängd. Då alla höger-Haarmått på en grupp är unika upp till en konstant finns således ett reellt tal sådant att
Eftersom ett nytt höger-Haarmått kan skapas för varje element i gruppen så kan ses som en funktion från gruppen till de positiva reella talen och brukar kallas modulärfunktionen. Notera att modulärfunktionen är oberoende av vilket höger-Haarmått som väljs för att definiera den eftersom givet två höger-Haarmått och så finns det en konstant så att . Detta ger
Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i :
Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.