Dual polygon

Inom geometrin förekommer polygoner i par kallade duala polygoner, hos vilka hörnen på den ena motsvarar kanterna på den andra och vice versa.

Egenskaper

"Dorman Luke"-konstruktion som visar hur en rombisk yta är dual till en rektangulär vertexfigur.

Regelbundna polygoner är självduala.

Dualen till en isogonal (hörn-transitiv) polygon är en isotoxal (kant-transitiv) polygon. Till exempel är den isogonala rektangeln och den isotoxala romben varandras dualer.

I en cyklisk polygon motsvaras längre sidor av större yttervinklar hos dualen (en tangentiell polygon) och kortare sidor av mindre vinklar. Vidare motsvaras kongruenta sidor av kongruenta vinklar i dualen. Så är till exempel dualen till en spetsvinklig ("hög och smal") likbent triangel en trubbvinklig ("låg och bred") likbent triangel.

I en Dorman Luke-konstruktion är varje yta på en dual polyeder den duala polygonen för motsvarande vertexfigur.

Dualitet hos fyrhörningar

Som ett exempel på kant-hörn-dualiteten hos polygoner studerar vi egenskaper hos en cyklisk fyrhörning och en tangentfyrhörning.^[1]

Cyklisk fyrhörning	Tangentfyrhörning
Omskriven cirkel	Inskriven cirkel
Sidornas mittpunktsnormaler skär varandra i omskrivna cirkelns medelpunkt	Vinklarnas bisektriser skär varandra i inskrivna cirkelns medelpunkt
Summan av de två paren motsatta vinklar är lika	Summan av de två paren motsatta sidor är lika

Denna dualitet framträder tydligare om vi jämför en likbent parallelltrapets med en drake.

Likbent parallelltrapets	Drake
Två par av lika intilliggande hörn	Två par av lika intilliggande kanter
Ett par av lika motstående kanter	Ett par av lika motstående hörn
En symmetriaxel genom två motstående sidor	En symmetriaxel genom två motstående hörn
Omskriven cirkel	Inskriven cirkel

Typer av dualitet

Rektifikation

Den enklaste kvalitativa konstruktionen av en dual polygon är en rektifikationsoperation, varigenom en polygons kanter trunkeras ner till hörn belägna vid mitten av varje ursprunglig kant. Nya kanter bildas mellan dessa nya hörn.

Denna konstruktionsmetod är inte reversibel. Det vill säga att den polygon som genereras av att upprepa proceduren två gånger i allmänhet inte liknar ursprungspolygonen.

Polär reciprokation

Se även: Polär reciprokation

Liksom med duala polyedrar kan man ta en cirkel (inskriven cirkel eller omskriven cirkel) och utföra polär reciprokation genom den.

Projektiv dualitet

Se även: Dualkurva

Under projektiv dualitet är dualen till en punkt en linje och dualen till en linje en punkt - sålunda är dualen till en polygon en polygon, med hörn hos den ursprungliga som motsvarar kanterna på dualen och vice versa.

Sett från dualkurvans synpunkt, där man för varje punkt på kurvan associerar punkt-dualen till tangenten i punkten på kurvan, kan den projektiva dualen tolkas enligt:

• varje punkt i kanten på en polygon har samma tangent vilken sammanfaller med kanten själv - de avbildas därför på samma hörn i den duala polygonen
• vid ett hörn är alla "tangentlinjerna" till hörnet de linjer som går genom punkten med en vinkel mellan de dvå kanterna som möts i hörnet - dualpunkterna till dessa linjer är då kanten i dualpolygonen.

Kombinatoriskt

Kombinatoriskt kan man definiera en polygon som en mängd hörn, en mängd kanter och en incidensrelation (vilka kanter och hörn som möts): Två intilliggande hörn definierar en kant och, dualt, två intilliggande kanter definierar en kant, Den duala polygonen eerhålls genom att byta hörnen och kanterna mot varandra.

Sålunda, för triangeln med hörnen {A,B,C} och kanterna {AB,BC,CA} har den duala triangeln hörnen {AB,BC,BA} och kanterna {A,B,C}, där B sammanbinder AB och BC, etcetera.

Detta är inte en speciellt fruktbar väg eftersom det, kombinatoriskt, finns en enda polygonfamilj (som ges av antalet kanter) och den geometriska dualiteten är mer varierad, liksom kombinatoriska duala polyedrar.

Se även

• Dual polyeder
• Dualkurva

Referenser

1. Michael de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry, ISBN 978-0-557-10295-2, 2009, sid. 55.