SR
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Хомотопија

Хомотопија

Непрекидна деформација између две непрекидне функције From Wikipedia, the free encyclopedia

Хомотопија
Формална дефиницијаСвојстваПримериХомотопска еквиваленцијаХомотопска еквиваленција наспрам хомеоморфизмаПримериНулта хомотопијаВиди јошРеференцеЛитератураСпољашње везе
Овај чланак је о topology. За chemistry погледајте страницу Homotopic groups.

У топологији, две непрекидне функције које пресликавају један тополошки простор у други се називају хомотопним (грчки хомос = исти и топос = место) ако једна од њих може бити непрекидно деформисана у другу- Таква деформација се назива хомотопија.[1][2] Појам хомотопије је основа за дефинисање група хомотопије и група кохомотопије, инваријанти у алгебарској топологији.[3][4]

Thumb
Две испрекидане путање приказане изнад су хомотопне у односу на њихове крајње тачке. Анимација представља једну могућу хомотопију.
Thumb
Две подебљане линије на слици су хомотопне. Танке линије представљају изоконтуре једне могуће хомотопије.
Thumb
Хомотопија шоље за чај у крофну (торус).

Формално, две непрекидне функције и које сликају тополошки простор у тополошки простор су хомотопне уколико постоји непрекидна функција тако да је за све тачке из , важи и [5]

Ако посматрамо други параметар као време, онда описује непрекидну трансформацију функције у : у тренутку 0 имамо функцију , а у тренутку 1 имамо функцију .[6]

Својства

Хомотопија је релација еквиваленције на скупу свих непрекидних функција из у . Ова релација је у складу са композицијом функција : ако су хомотопне, и , онда су и и такође хомотопне.

  • Ако је f , g : R → R 2 {\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}} {\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}} дато са f ( x ) := ( x , x 3 ) {\displaystyle f(x):=\left(x,x^{3}\right)} {\displaystyle f(x):=\left(x,x^{3}\right)} и g ( x ) = ( x , e x ) {\displaystyle g(x)=\left(x,e^{x}\right)} {\displaystyle g(x)=\left(x,e^{x}\right)}, онда је мапа H : R × [ 0 , 1 ] → R 2 {\displaystyle H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}} {\displaystyle H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}} дата са H ( x , t ) = ( x , ( 1 − t ) x 3 + t e x ) {\displaystyle H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)} {\displaystyle H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)} хомотопија између њих.
  • Уопштеније, ако је C ⊆ R n {\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}} конвексан подскуп Еуклидовог простора и f , g : [ 0 , 1 ] → C {\displaystyle f,g:[0,1]\to C} {\displaystyle f,g:[0,1]\to C} су путање са истим крајњим тачкама, онда постоји линеарна хомотопија[7] (или праволинијска хомотопија) дата са
    H : [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] ⟶ C ( s , t ) ⟼ ( 1 − t ) f ( s ) + t g ( s ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}}
  • Нека је id B n : B n → B n {\displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}} {\displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}} функција идентитета на јединичном n-диску; тј. скуп B n := { x ∈ R n : ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}} {\displaystyle B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}}. Нека је c 0 → : B n → B n {\displaystyle c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}} {\displaystyle c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}} константна функција c 0 → ( x ) := 0 → {\displaystyle c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}} {\displaystyle c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}} која шаље сваку тачку у почетак. Онда је следећа хомотопија између њих:
    H : B n × [ 0 , 1 ] ⟶ B n ( x , t ) ⟼ ( 1 − t ) x . {\displaystyle {\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}}

За дата два тополошка простора X и Y, хомотопска еквиваленција између X и Y је пар непрекидних мапа f : X → Y и g : Y → X, тако да је g ∘ f хомотопна мапи идентитета idX и f ∘ g је хомотопна према idY. Ако такав пар постоји, онда се за X и Y каже да су хомотопски еквивалентни, или истог типа хомотопије. Интуитивно, два простора X и Y су хомотопски еквивалентни ако се могу трансформисати један у други операцијама савијања, скупљања и ширења. Простори који су хомотопијски еквивалентни тачки називају се контрактивним.

Хомотопска еквиваленција наспрам хомеоморфизма

Хомеоморфизам је посебан случај хомотопске еквиваленције, у којем је g ∘ f једнако мапи идентитета idX (не само хомотопно њој), а f ∘ g је једнако idY.[8]‍:0:53:00 Дакле, ако су X и Y хомеоморфни онда су хомотопски еквивалентни, али супротно није тачно. Неки примери:

  • Чврсти диск је хомотопски еквивалентан једној тачки, пошто се диск може деформисати дуж радијалних линија непрекидно до једне тачке. Међутим, оне нису хомеоморфне, пошто између њих не постоји бијекција (пошто је једно бесконачан скуп, док је друго коначан).
  • Мебијусова трака и неуплетена (затворена) трака су хомотопски еквивалентни, пошто се обе траке могу континуално деформисати у круг. Међутим оне нису хомеоморфне.

Примери

  • Први пример хомотопијске еквиваленције је R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} са тачком, означеном R n ≃ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}. Део који треба проверити је постојање хомотопије H : I × R n → R n {\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} између id R n {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}} {\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}} and p 0 {\displaystyle p_{0}} {\displaystyle p_{0}}, пројекције R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} на исходиште. Ово се може описати као H ( t , ⋅ ) = t ⋅ p 0 + ( 1 − t ) ⋅ id R n {\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}} {\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}.
  • Постоји хомотопска еквиваленција између S 1 {\displaystyle S^{1}} {\displaystyle S^{1}} (1-сфера) и R 2 − { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}.
    • Уопштеније, R n − { 0 } ≃ S n − 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}.
  • Било који сноп влакана π : E → B {\displaystyle \pi :E\to B} {\displaystyle \pi :E\to B} са влакнима F b {\displaystyle F_{b}} {\displaystyle F_{b}} хомотопно еквивалентним тачки има хомотопни еквивалентан укупни и базни простор. Ово генерализује претходна два примера пошто је π : R n − { 0 } → S n − 1 {\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}} {\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}} сноп влакана са влакнима R > 0 {\displaystyle \mathbb {R} _{>0}} {\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}.
  • Сваки векторски сноп је сноп влакана са хомотопијом влакана еквивалентном тачки.
  • R n − R k ≃ S n − k − 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}} за било које 0 ≤ k < n {\displaystyle 0\leq k<n} {\displaystyle 0\leq k<n}, писањем R n − R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}} као укупан простор снопа влакана R k × ( R n − k − { 0 } ) → ( R n − k − { 0 } ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})} {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}, а затим примењујући горње хомотопске еквивалентности.
  • Ако је подкомплекс A {\displaystyle A} {\displaystyle A} CW комплекса X {\displaystyle X} {\displaystyle X} је контрактибилан, онда је количник простора X / A {\displaystyle X/A} {\displaystyle X/A} хомотопски еквивалент X {\displaystyle X} {\displaystyle X}.[9]
  • Деформациона ретракција је хомотопска еквиваленција.

Нулта хомотопија

За функцију f се каже да је нулто-хомотопна ако је хомотопна константној функцији. (Хомотопија од f до константне функције се тада понекад назива нултом хомотопијом.) На пример, мапа f из јединичног круга S1 у било који простор X је нулто-хомотопна управо када се може континуирано проширивати на мапу из јединичног диска D2 у X који се слаже са f на граници.

Из ових дефиниција следи да је простор X контрактибилан ако и само ако је мапа идентитета из X у себе – која је увек хомотопска еквиваленција – нулто-хомотопна.

  • Хомологија
  1. [1]
    „Homotopy Definition & Meaning”. Приступљено 22. 4. 2022.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
  2. [2]
    „Homotopy Type Theory Discussed - Computerphile”. Приступљено 22. 4. 2022.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
  3. [3]
    Armstrong, M.A. (1979). Basic Topology. Springer. ISBN 0-387-90839-0.
  4. [4]
    „Homotopy | mathematics”. Encyclopedia Britannica (на језику: енглески). Приступљено 2019-08-17.
  5. [5]
    Spanier, Edwin (1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
  6. [6]
    „algebraic topology - Path homotopy and separately continuous functions”. Mathematics Stack Exchange.
  7. [7]
    Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. стр. 185. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394.
  8. [8]
    Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Albin, Pierre (2019). „History of algebraic topology”.
  9. [9]
    Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. стр. 11. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394.
  • Armstrong, M.A. (1979). Basic Topology. Springer. ISBN 0-387-90839-0.
  • Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Homotopy”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104.
  • Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Isotopy (in topology)”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104.
  • Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], „Chapter XVIII Topology”, Ур.: Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd изд.), The M.I.T. Press
  • Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
  • Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press
  • Ryszard Engelking (1989). General Topology. ISBN 3-88538-006-4., Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
  • Breitenberger, E. (2006). „Johann Benedict Listing”. Ур.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
  • Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1.
  • Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4. (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
  • Wacław Sierpiński, General Topology. 2000. ISBN 0-486-41148-6., Dover Publications
  • Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and CosmologyНеопходна слободна регистрација. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1. (Provides a popular introduction to topology and geometry)
  • Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd изд.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1
  • Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, Homotopy and Applications, 1 (1999) 1–78.
  • Ronald Brown, Philip J. Higgins, Rafael Sivera, Nonabelian Algebraic Topology. EMS Tracts in Mathematics. 15. 2011. ISBN 978-3-03719-083-8. arXiv:math/0407275 Слободан приступ. doi:10.4171/083. MR2841564
  • Čech, Eduard (1932), „Höherdimensionale Homotopiegruppen”, Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich.
  • Hatcher, Allen (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1
  • Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Homotopy group”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104.
  • Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen, 104 (1): 637—665, doi:10.1007/BF01457962.
  • Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997). Abstract homotopy and simple homotopy theory. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. ISBN 981-02-1602-5. MR 1464944. doi:10.1142/9789812831989.
  • Toda, Hiroshi (1962). Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. MR 0143217.
  • Whitehead, George William (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. 61 (3rd изд.). New York-Berlin: Springer-Verlag. стр. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508.
  • Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics. 18. Springer. стр. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
  • Tait, Peter Guthrie (1. 2. 1883). „Johann Benedict Listing (obituary)”. Nature. 27 (692): 316—317. Bibcode:1883Natur..27..316P. doi:10.1038/027316a0 Слободан приступ.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
  • Johnstone, Peter T. (1983). „The point of pointless topology”. Bulletin of the American Mathematical Society. 8 (1): 41—53. doi:10.1090/s0273-0979-1983-15080-2 Слободан приступ.
  • Artin, Michael (1962). Grothendieck topologies. Cambridge, MA: Harvard University, Dept. of Mathematics. Zbl 0208.48701.
  • Adams, Colin (2004). The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3678-1.
  • Stadler, Bärbel M.R.; Stadler, Peter F.; Wagner, Günter P.; Fontana, Walter (2001). „The Topology of the Possible: Formal Spaces Underlying Patterns of Evolutionary Change”. Journal of Theoretical Biology. 213 (2): 241—274. Bibcode:2001JThBi.213..241S. CiteSeerX 10.1.1.63.7808 Слободан приступ. PMID 11894994. doi:10.1006/jtbi.2001.2423.
Хомотопија на Викимедијиној остави.
  • Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
  • Хомотопија на сајту  (језик: енглески)
  • Topology Atlas
  • Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
  • Topology Glossary
  • Moscow 1935: Topology moving towards America. ISBN 978-1-4612-2972-8., a historical essay by Hassler Whitney.
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Формална дефиниција

Примери

Хомотопска еквиваленција

Види још

Референце

Литература

Спољашње везе