Радијан

У математици и физици, радијан је мерна јединица угла. То је СИ изведена јединица за угао.^[1] Дефинисана је као угао код центра круга затворен луком кружнице који је једнак у дужини полупречнику круга. Мере угла у радијанима су често дате без икакве експлицитне јединице. Када се да јединица, користи се скраћеница rad, а понекад симбол ^c (за циркуларни).

Радијан
Систем	Изведене јединице СИ система
Јединица	Угао
Симбол	или c
У јединицама	Без димензија са дужином лука једнаком полупречнику, тј. 1 m/m
Јединична претварања
1 у ...	... је једнак са ...
милирадијани	1000
обрт	1/2π обрт
степена	180/π ≈ 57,296°
града	200/π ≈ 63,662

Лук круга исте дужине као и полупречник тог круга обухвата угао од 1 радијана. Обим обухвата угао од 2π радијана.

Дефиниција

Потпуна револуција је 2π радијана (овде је приказана кругом полупречника један, а тиме и обимом 2π).

Један радијан се дефинише као угао формиран од центра круга који пресеца лук једнаке дужине полупречнику круга.^[2] Уопштеније, магнитуда тог угла у радијанима једнака је односу дужине лука и полупречника круга; то јест, θ = s/r, где је θ угао у радијанима, s је дужина лука, а r је полупречник. Супротно томе, дужина пресеченог лука једнака је полупречнику помноженом са величином угла у радијанима; односно s = rθ.

Као однос две дужине, радијан је чист број.^[а] У СИ, радијан је дефинисан као да има вредност 1.^[6] Као последица тога, у математичком писању, симбол „rad“ се скоро увек изоставља. Када се квантификује угао у одсуству било ког симбола, претпостављају се радијани, а када се мисли на степене, користи се знак степена °.

Из тога следи да је величина у радијанима једног потпуног обртаја (360 степени) дужина целог обима подељена полупречником, или 2πr / r, или 2π. Тако је 2π радијана једнако 360 степени, што значи да је један радијан једнак 180/π ≈ 57,295779513082320876 степени.^[7]

Релација 2π rad = 360° се може извести коришћењем формуле за дужину лука, ${\displaystyle \ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\tfrac {\theta }{360^{\circ }}}\right)}$, и коришћењем круга полупречника 1. Пошто је радијан мера угла који спаја лук дужине једнаке полупречнику круга, следи ${\displaystyle 1=2\pi \left({\tfrac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)}$. Ово се даље може поједноставити на ${\displaystyle 1={\tfrac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}}$. Множење обе стране са 360° даје 360° = 2π rad.

Историја

Концепт радијанске мере, за разлику од степена угла, обично се приписује Роџеру Котсу 1714. године.^[8][9] Он је описао радијан у свему осим у имену и препознао његову природност као јединицу угаоне мере. Пре него што је термин радијан постао широко распрострањен, јединица се обично звала кружна мера угла.^[10]

Идеју о мерењу углова дужином лука већ су користили други математичари. На пример, ал-Каши (око 1400) користио је такозване делове пречника као јединице, где је један део пречника био 1/60 радијана. Такође су користили сексагезималне подјединице дела пречника.^[11]

Термин радијан се први пут појавио у штампи 5. јуна 1873. у испитним питањима које је поставио Џејмс Томсон (брат лорда Келвина) на Квинс колеџу у Белфасту. Он је користио тај термин још 1871. године, док је 1869. Томас Мјур, тада са Универзитета Сент Ендруз, колебао између појмова , , и . Године 1874, након консултација са Џејмсом Томсоном, Мјур је усвојио радијан.^[12][13][14] Име радијан није било универзално усвојено неко време након овога. Лонгмансова школска тригонометрија је и користила назив радијанска кружна мера када је објављена 1890.^[15]

Симбол јединице

Међународни биро за тегове и мере^[16] и Међународна организација за стандардизацију^[17] наводе као симбол радијана. Алтернативни симболи који су коришћени пре 100 година су (наднасловно написано слово , за „кружну меру“), слово или суперскрипт ^R,^[18] али се ове варијанте ретко користе, јер могу бити помешане са симболом степена (°) или полупречником (). Стога би вредност од 1,2 радијана најчешће била записана као 1,2 rad; друге ознаке укључују 1,2 r, 1,2^rad, 1,2^c, или 1,2^R.

Конверзије

Постоје 2π (око 6,283185) радијана у пуном кругу, па:

2π rad = 360°
1 rad = 360°/2π = 180°/π (приближно 57,29578°).

или:

${\displaystyle 360^{\circ }=2\pi {\mbox{rad}}}$

${\displaystyle 1^{\circ }={\frac {2\pi }{360}}{\mbox{rad}}={\frac {\pi }{180}}{\mbox{rad}}}$

У математичкој анализи, углови морају да се представе у радијанима у тригонометријским функцијама, да би идентитети и резултати били што простији и природнији. На пример, употреба радијана води до простог идентитета

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1}$,

који је основа за многе друге елегантне идентитете у математици, укључујући

${\displaystyle {\frac {d\sin x}{dx}}=\cos x}$.

Радијан је пре био СИ допунска јединица, али је ова категорија укинута из СИ система 1995. године.

Треба нагласити да, иако је радијан јединица за меру, све мерено у радијанима је бездимензионално. Ово може лако да се уочи у томе да је однос дужине лука и полупречника у ствари угао лука, мерен у радијанима; а ипак количник два растојања је без димензија. Величине углова су напросто бројеви—у математичком смислу—а не физичке величине мерене у односу на известан фиксан еталон. Величина угла, у радијанима, степенима или ма којој другој јединици, независна је од јединице која се користи за изражавање дужина и других физичких мерљивих величина.

За мерење просторних углова, видите стерадијан.

Предности мерења у радијанима

Неки уобичајени углови, мерени у радијанима. Сви велики полигони у овом дијаграму су правилни полигони.

У калкулусу и већини других грана математике изван практичне геометрије, углови се универзално мере у радијанима. То је зато што радијани имају математичку „природности” која доводи до елегантније формулације бројних важних резултата. Што је најважније, резултати у анализи која укључује тригонометријске функције могу се елегантно навести, када су аргументи функција изражени у радијанима. На пример, употреба радијана доводи до једноставне формуле лимита

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$

што је основа многих других идентитета у математици, укључујући

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$^[7]

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$

Због ових и других својстава, тригонометријске функције се појављују у решењима математичких проблема који нису очигледно повезани са геометријским значењима функција (на пример, решења диференцијалне једначине: ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}$, израчунавања интеграла ${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}},}$ и тако даље). У свим таквим случајевима, нађено је да су аргументи функција најприродније написани у облику који одговара, у геометријском контексту, радијанском мерењу углова.

Тригонометријске функције такође имају једноставна и елегантна проширења серије када се користе радијани. На пример, када је x у радијанима, Тејлоров низ за постаје:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Ако је x изражено у степенима, онда би серија садржала непрегледне факторе који укључују степене π/180: ако је x број степени, број радијана је y = πx / 180, тако да

${\displaystyle \sin x_{\mathrm {deg} }=\sin y_{\mathrm {rad} }={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

У сличном духу, математички важни односи између синусних и косинусних функција и експоненцијалне функције (погледајте, на пример, Ојлерову формулу) могу се елегантно изразити, када су аргументи функција у радијанима (а иначе неуредни).

Димензионална анализа

Иако је радијан јединица мере, он је бездимензионална величина. Ово се може видети из раније дате дефиниције: угао везан за центар круга, мерен у радијанима, једнак је односу дужине затвореног лука и дужине полупречника круга. Пошто се мерне јединице поништавају, овај однос је бездимензионалан.

Иако поларне и сферне координате користе радијане за описивање координата у две и три димензије, јединица се изводи из радијусне координате, тако да је мера угла и даље бездимензионална.^[19]

Види још

• Тригонометрија
• Хармонијска анализа
• Угаона фреквенција
• Степени
• Пи

Напомене

1. While the radian is normally defined as the ratio of two lengths (it is a "pure number"), Mohr and Phillips^[3] and others ^{[4] [5]} point out that problems can arise if angles are defined to be dimensionless.

Референце

1. „Resolution 8 of the CGPM at its 20th Meeting (1995)”. Bureau International des Poids et Mesures. Архивирано из оригинала 2018-12-25. г. Приступљено 2014-09-23.
2. Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, стр. APP-4, LCCN 76087042
3. Mohr, J. C.; Phillips, W. D. (2015). „Dimensionless Units in the SI”. Metrologia. 52 (1): 40—47. Bibcode:2015Metro..52...40M. S2CID 3328342. arXiv:1409.2794 . doi:10.1088/0026-1394/52/1/40.
4. Mills, I. M. (2016). „On the units radian and cycle for the quantity plane angle”. Metrologia. 53 (3): 991—997. Bibcode:2016Metro..53..991M. doi:10.1088/0026-1394/53/3/991.
5. „SI units need reform to avoid confusion”. Editorial. Nature. 548 (7666): 135. 7. 8. 2011. PMID 28796224. doi:10.1038/548135b .CS1 одржавање: Формат датума (веза)
6. ISO 80000-3:2006
7. Weisstein, Eric W. „Radian”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-31.
8. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (фебруар 2005). „Biography of Roger Cotes”. The MacTutor History of Mathematics. Архивирано из оригинала 2012-09-24. г. Приступљено 2006-04-21.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
9. Roger Cotes died in 1716. By 1722, his cousin Robert Smith had collected and published Cotes' mathematical writings in a book, Harmonia mensurarum … . In a chapter of editorial comments by Smith, he gives, for the first time, the value of one radian in degrees. See: Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, top of page 95. From page 95: After stating that 180° corresponds to a length of π (3.14159…) along a unit circle (i.e., π radians), Smith writes: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 &c. " (Whence the unit of trigonometric measure, 57.2957795130… [degrees per radian], will appear.)
10. Isaac Todhunter, Plane Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools, p. 10, Cambridge and London: MacMillan, 1864 OCLC 500022958
11. Luckey, Paul (1953) [Translation of 1424 book]. Siggel, A., ур. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi [Treatise on the Circumference of al-Kashi]. Berlin: Akademie Verlag. стр. 40.
12. Cajori, Florian (1929). History of Mathematical Notations. 2. Dover Publications. стр. 147–148. ISBN 0-486-67766-4.
13. Muir, Thos. (1910). „The Term "Radian" in Trigonometry”. Nature. 83 (2110): 156. Bibcode:1910Natur..83..156M. S2CID 3958702. doi:10.1038/083156a0 .Thomson, James (1910). „The Term "Radian" in Trigonometry”. Nature. 83 (2112): 217. Bibcode:1910Natur..83..217T. S2CID 3980250. doi:10.1038/083217c0.Muir, Thos. (1910). „The Term "Radian" in Trigonometry”. Nature. 83 (2120): 459—460. Bibcode:1910Natur..83..459M. S2CID 3971449. doi:10.1038/083459d0.
14. Miller, Jeff (23. 11. 2009). „Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics”. Приступљено 30. 9. 2011.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
15. Frederick Sparks, Longmans' School Trigonometry, p. 6, London: Longmans, Green, and Co., 1890 OCLC 877238863 (1891 edition)
16. 2019 BIPM Brochure
17. ISO 80000-3:2006 Quantities and Units - Space and Time
18. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (јануар 1909). „Chapter VII. The General Angle [55] Signs and Limitations in Value. Exercise XV.”. Написано на Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. стр. 73. Приступљено 2017-08-12.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
19. For a debate on this meaning and use see:Brownstein, K. R. (1997). „Angles—Let's treat them squarely”. American Journal of Physics. 65 (7): 605—614. Bibcode:1997AmJPh..65..605B. doi:10.1119/1.18616., Romain, J.E. (1962). „Angles as a fourth fundamental quantity”. Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 66B (3): 97. doi:10.6028/jres.066B.012 ., LéVy-Leblond, Jean-Marc (1998). „Dimensional angles and universal constants”. American Journal of Physics. 66 (9): 814—815. Bibcode:1998AmJPh..66..814L. doi:10.1119/1.18964., and Romer, Robert H. (1999). „Units—SI-Only, or Multicultural Diversity?”. American Journal of Physics. 67 (1): 13—16. Bibcode:1999AmJPh..67...13R. doi:10.1119/1.19185.

Литература

• E Richard Cohen; Tom Cvitas; Jeremy G Frey; Bertil Holstrom; John W Jost, ур. (2007). Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry (PDF). (3. изд.). Royal Society of Chemistry; 3rd edition. ISBN 0854044337.

• (1993). , 0-632-03583-8.

Спољашње везе