Множење

Множење је бинарна операција у математици. Записује се као или . Операнди и се називају чиниоци (фактори), а резултат множења производ.^[1]

3 · 4 = 12, па 12 куглица може бити сложено као 3 врсте по 4 (или 4 колоне по 3) куглице

Ако је један операнд природан број, онда множење представља скраћени запис сабирања. Нпр, ако је ∈ ℕ, онда је

${\displaystyle a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.}$

У алгебри се ознака за множење подразумева и може се прескочити, па се 3 · може записати и као 3 ^[2]

На пример, 4 помножено са 3, често написано као ${\displaystyle 3\times 4}$ и изговорено као „3 пута 4”, може се израчунати додавањем 3 копије од 4 заједно:

${\displaystyle 3\times 4=4+4+4=12}$

Овде су 3 (множилац) и 4 (множеник) чиниоци, а 12 је производ.

Једно од главних својстава множења је комутативно својство, које у овом случају наводи да сабирање 3 копије од 4 даје исти резултат као додавање 4 копије од 3:

${\displaystyle 4\times 3=3+3+3+3=12}$

Систематске генерализације ове основне дефиниције дефинишу множење целих бројева (укључујући негативне бројеве), рационалних (разломака) и реалних бројева.

Множење се такође може визуализовати као бројање објеката распоређених у правоугаоник (за целе бројеве) или као проналажење површине правоугаоника чије странице имају неке дате дужине. Површина правоугаоника не зависи од тога која се страница прва мери — последица комутативног својства.

Производ два мерења је нова врста мерења. На пример, множењем дужина две стране правоугаоника добија се његова површина. Такав производ је предмет димензионалне анализе.^[3][4][5]

Инверзна операција множењу је дељење.^[6] На пример, пошто је 4 помножено са 3 једнако 12, 12 подељено са 3 је једнако 4.

Множење бројева

Особине

Множење има приоритет над сабирањем. Множење бројева има следеће особине (за множење других објеката погледати ниже у тексту):

1. ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$	(неутрал)
2. ${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}$	(сваки број помножен нулом једнак је нули)
3. ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$	(асоцијативност)
4. ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$	комутативност
5. ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$	дистрибутивност множења према сабирању

1. На скупу рационалних, реалних и комплексних бројева, сваки број осим нуле има тачно један инверзан број, такав да је њихов производ јединица:

${\displaystyle \forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1}$

Инверзан број броја ${\displaystyle a}$ се записује као ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$. Инверзан број инверзног броја је полазни број:

${\displaystyle {\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a}$

Множење целих бројева

Приликом множења целих бројева, ако су оба истог знака (оба позитивна или негативна), резултат је позитиван. Производ позитивног и негативног броја је негативан.

Рационални чиниоци

Главни чланак: Рационалан број

Производ рационалних бројева је рационалан број коме је бројилац производ бројилаца чинилаца, а именилац производ именилаца чинилаца:

${\displaystyle a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}}$

Ирационални чиниоци

Главни чланак: Реални бројеви

Нека је ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број, тада је производ гранична вредност

${\displaystyle a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}}$

где је ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ рационалан број и представља приближну вредност броја .

Множење комплексних бројева

Главни чланак: Комплексни бројеви

Сваки комплексан број z можемо записати као уређени пар или у тригонометријском (поларном) запису:

${\displaystyle z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )}$.

Како је ${\displaystyle i^{2}=-1}$, формула за множење у алгебарском запису гласи

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}$.

Из тригонометријских једначина следи формула за множење комплексних бројева у тригонометријском облику:

${\displaystyle \rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))}$

Множење вектора

Главни чланак: Вектор

Постоји неколико врста множења вектора: множење вектора скаларом, скаларни, векторски и мешовити производ вектора. Скаларни производ вектора се обележава са „·“, а векторски са „×“.

Посматрајмо вектор у тродимензионалном Еуклидском простору: ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})\in \mathbb {R} ^{3}}$.

Множење вектора скаларом

Вектор се множи скаларом тако што се свака његова координата помножи скаларом. Ова операција је комутативна.

${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})}$

Скаларни производ

Скаларни производ вектора је скалар једнак суми производа одговарајућих координата:

${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \cdot$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}$

Скаларни производ је комутативан.

Векторски производ

Векторски производ.

Векторски производ вектора је нови вектор, чији је интензитет једнак површини паралелограма који вектори-чиниоци заклапају, правац му је нормалан на раван коју вектори-чиниоци дефинишу, а смер се дефинише правилом леве или десне руке, зависно од конвенције. Овај производ је специфичан за ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, и антикомутативан је.^[7] Векторски производ се рачуна као детерминанта матрице:^[8][9][10]

${\displaystyle \times$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}

${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}$

где су ${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} }$ и ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ортови дуж x, y и z осе.

Мешовити производ

Запремина паралелепипеда који дефинишу 3 вектора једнака је њиховом мешовитом производу.

Мешовити производ три вектора је скалар који је једнак запремини паралелопипеда који ти вектори заклапају. Записује се као [a, b, c] и по дефиницији је:

${\displaystyle []:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}}$

Множење матрица

Главни чланак: Матрица (математика)

Нека су дате матрице и величине × и ×. Производ је дефинисан ако је = , а добијена матрица има димензије ×. Елементи матрице-производа су

${\displaystyle (AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}}$

Множење матрица није комутативно. Матрице 1×3 и 3×2 можемо помножити само на један начин, а 5×4 и 4×5 са обе стране, али производи неће имати исту величину (5×5 на један и 4×4 на други начин). Ако се помноже две квадратне матрице исте величине, производи су такође исте величине, и може се дефинисати комутатор:^[11][12]

${\displaystyle [A,B]=A\times B-B\times A}$

Види још

• Дељење
• Степеновање
• Таблица множења
• Линеарна функција
• Египатско множење