Појам комутативности се најчешће везује за бинарне математичке операције код којих редослед операнада не утиче на резултат операције. То је основно својство многих бинарних операција и од њега зависе многи математички докази. Најпознатије као име својства које на пример наводи да је „3 + 4 = 4 + 3” или „2 × 5 = 5 × 2”. Ово својство се такође може користити у напреднијим подешавањима. Име је потребно јер постоје операције, као што су дељење и одузимање, које га немају (на пример, „3 − 5 ≠ 5 − 3“); такве операције нису комутативне, те се називају некомутативним операцијама. Идеја да су једноставне операције, као што су множење и сабирање бројева, комутативне је много година имплицитно претпостављана. Стога ово својство није добило име све до 19. века, када је математика почела да се формализује.[1][2] Одговарајуће својство постоји за бинарне релације; за бинарну релацију се каже да је симетрична ако се релација примењује без обзира на редослед њених операнада; на пример, једнакост је симетрична пошто су два једнака математичка објекта једнака без обзира на њихов редослед.[3]
Бинарна операција на скупуS је комутативна ако је[4][5]
Операција која не задовољава горњу особину назива се некомутативном.
Може се рећи да је x комутативно са y или да су x и yкомутативни у погледу ако је
Другим речима, операција је комутативна ако се сваки пар елемената комутативан.
Бинарна функција се понекад назива комутативном ако је
Таква функција се чешће назива симетричном функцијом.
Онда је ова операција према дефиницији комутативна.
Овде се може направити и уопштење за , . Операција је комутативна ако за сваку и сваку њену пермутацију важи:
тј.
Записи о имплицитној употреби комутативног својства сежу у давна времена. Египћани су користили комутативно својство множења да би поједноставили рачунарске производе.[6][7] Познато је да је Еуклид преузео комутативно својство множења у својој књизи Елементи.[8] Формална употреба комутативног својства настала је крајем 18. и почетком 19. века, када су математичари почели да раде на теорији функција. Данас је комутативно својство добро познато и основно својство које се користи у већини грана математике.
Прва забележена употреба термина комутативно била је у мемоарима Франсоа Сервоа из 1814. године,[1][9] који је користио реч комутативни када је описивао функције које имају оно што се данас зове комутативно својство. Реч је комбинација француске речи commuter што значи „заменити или променити” и суфикса -ative што значи „тежња ка”, тако да реч дословно значи „тежња да се замени или промени”. Термин се тада појавио на енглеском 1838. године[2] у чланку Данкана Фаркухарсона Грегорија под насловом „О стварној природи симболичке алгебре“ објављеном 1840. године у часопису Transactions of the Royal Society of Edinburgh.[10]
Правило замене
У истинитосно-функционалној пропозиционој логици, комутација[11][12] или комутативност[13] се односи на два важећаправила замене. Правила дозвољавају транспоновање пропозиционих променљивих унутар логичких израза у логичким доказима. Правила су:
и
где је „” металогичкисимбол који представља „може се заменити у доказу са”.
Комутативност импликације (назива се и закон пермутације)
Комутативност еквиваленције (назива се и потпуни комутативни закон еквиваленције)
У теорији група и скупова, многе алгебарске структуре се називају комутативним када одређени операнди задовоље комутативно својство. У вишим гранама математике, као што су анализа и линеарна алгебра, комутативност добро познатих операција (као што су сабирање и множење на реалним и комплексним бројевима) се често користи (или имплицитно претпоставља) у доказима.[14][15][16]
Комутативна полугрупа је скуп који има тоталну, асоцијативну и комутативну операцију.[17][18]
Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN0-201-01984-1
Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN0-13-067464-8
Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon
Attila Nagy (2001). Special Classes of Semigroups. Springer. 978-0-7923-6890-8
Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, London Mathematical Society Monographs. New Series, 12, Oxford: Clarendon Press, ISBN0-19-851194-9, Zbl0835.20077
Jacobson, Nathan (1951), Lectures in Abstract Algebra, I, D. Van Nostrand Company, ISBN0-387-90122-1
Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander V. (2000), Monoids, acts and categories. With applications to wreath products and graphs. A handbook for students and researchers, de Gruyter Expositions in Mathematics, 29, Berlin: Walter de Gruyter, ISBN3-11-015248-7, Zbl0945.20036
Lothaire, M. (1997), Lothaire, M, ур., Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, J. E.; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, M. P.; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Foreword by Roger Lyndon (2nd изд.), Cambridge University Press, ISBN0-521-59924-5, MR1475463, Zbl0874.20040, doi:10.1017/CBO9780511566097
Propositional sequent calculus prover on Project Nayuki. (note: implication can be input in the form !X|Y, and a sequent can be a single formula prefixed with > and having no commas)