операција у рачуну From Wikipedia, the free encyclopedia
У математичкој анализи, грани математике, извод је мера како (колико брзо) функција мења своје вредности када јој се улазне вредности мењају. Извод криве у некој тачки представља коефицијент правца тангенте дате криве у тој тачки.
Извод функције у тачки a се дефинише као:
уколико лимес постоји. Иначе, извод можемо схватити и као линеарни оператор.
Поступак проналажења извода функције се назива диференцијацијом. Диференцијација процес обратан у односу на интеграљење.
Симболе , , и је осмислио Готфрид Вилхелм Лајбниц године 1675. Још се често користи када се функција y = f(x) гледа као однос зависних и независних променљивих. У том случају се први извод обележава као
и некада се гледао као инфинитезимални количник. Изводи вишег реда се обележавају нотацијом
за n-ти извод функције . Они представљају скраћени запис поновног вршења оператора извода, пример:
Са Лајбницовом нотацијом можемо записати извод функције у тачки на два начина:
Лајбницова нотација дозвољава прецизирање променљиве по којој се врши извод, што је битно у парцијалним изводима. Такође олакшава памћење формуле за извод сложене функције
Најчешћи начин записивања извода је користећи Лагранжову нотацију која користи ознаку прим ('), тако да је извод функције записан као . Слично, други и трећи изводи се обележавају:
Да би се означио ред извода изнад 3, неки аутори користе римске бројеве у натпису, а неки арапске бројеве у заградама:
n-ти извод се означава као , овај запис се користи када се говори о изводу као о сопственој функцији.
Њутнова нотација за диференцијацију (такође звана тачкасти запис за диференцијацију) ставља тачку преко зависне променљиве. Односно, ако је y функција од t, тада је дериват od y у односу на
Виши деривати су представљени помоћу више тачака, као у
Њутнов запис се обично користи када независна променљива означава време. Ако је локација y функција od t, тада и означава брзину,[1] а означава убрзање.[2]
Изводи су користан алат за испитивање графика функција. Све тачке унутар домена реалних функција које представљају локалне екстремуме имају за први извод нулу. Међутим, нису све критичне тачке локални екстремуми; на пример има критичну тачку у , али нема ни локални максимум, ни локални минимум у овој тачки.
Други извод функције се може користити за испитивање конвексности функције. Превојне тачке (тачке у којима функција прелази из конвексног у конкавни облик) имају за други извод нулу.
Ако је функција f диференцијабилна у тачки , онда ће коефицијент правца тангенте криве у тачки , бити једнака , где је α угао који тангента заклапа са позитивним делом -осе, а једначина исте тангенте ће гласити:
где је .
Једначина нормале у датој тачки Т ће бити:
Изводи се могу теоретски рачунати по дефиницији у сваком примеру, али се у пракси често користе већ готови рачуни познатијих, једноставнијих функција. Изводи сложенијих функција се рачунају помоћу одређених правила.
;
; n - било који број
;
; =>
= 1, ln(e) = 1
Коначно:
;
;
;
=>
;
=> .Како
=>
=>
==
==
Функција | Извод | Функција | Извод | ||
---|---|---|---|---|---|
Дата је сложена функција , где је
Извод је једнак производу извода појединачних делова
Пример:
Збир извода је извод збира
Извод производа
Специјалан случај је извод функције помножене константом
Извод количника
Други извод се дефинише као извод првог извода:
Слично важи и за сваки следећи извод: