Лагранжова теорема

Уколико сте тражили теорему из теорије група, погледајте чланак Лагранжова теорема (теорија група).

Лагранжова теорема (енгл. ) је једна од основних теорема диференцијалног рачуна и уопште математичке анализе.^[1][2] Често се још назива и теорема о средњој вредности диференцијалног рачуна.

Геометријска интерпретација Лагранжове теореме

Формулација

Ако је функција f:

• непрекидна на затвореном интервалу ${\displaystyle \,[a,b]}$, и
• диференцијабилна на отвореном интервалу ${\displaystyle \,(a,b)}$,

онда постоји тачка ${\displaystyle \,c}$ из интервала ${\displaystyle \,(a,b)}$, таква да је:^[3]

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}$

Доказ 1[4]

Посматрајмо функцију

${\displaystyle h(x)=f(x)+\lambda x}$.

И она је непрекидна на ${\displaystyle \,[a,b]}$ и диференцијабилна на ${\displaystyle \,(a,b)}$. Одредимо ${\displaystyle \lambda }$ за које функција ${\displaystyle \,h(x)}$ задовољава услове Ролове теореме.

Дакле, да би било ${\displaystyle \,h(a)=h(b)}$, мора бити:

${\displaystyle \lambda =-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Тада, по условима Ролове теореме, постоји тачка ${\displaystyle \,c}$ из интервала ${\displaystyle \,(a,b)}$, таква да је:

${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)+\lambda ,}$ те је

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Доказ 2

Посматрајмо функцију

${\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)-({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}})(x-a)}$

Како је функција ${\displaystyle f}$ непрекидна и диференцијабилна на интервалу ${\displaystyle [a,b]}$, односно ${\displaystyle (a,b)}$, и функција ${\displaystyle h}$ је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више, ${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$, што значи да на функцију ${\displaystyle h}$ можемо применити Ролову теорему.

Први извод функције ${\displaystyle h}$ је:

${\displaystyle h'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

Према Роловој теореми сада следи да постоји тачка ${\displaystyle c}$, таква да је ${\displaystyle f'(c)=0}$, тј.

${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$,

односно:

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$,

што је и требало да се покаже.

Геометријска интерпретација

Геометријска интерпретација: За било коју функцију непрекидну на [a, b] и диференцијабилну на (a, b), постоји тачка c из интервала (a, b) у којој је тангента (tangent) паралелна са сечицом (secant) која повезује крајеве интервала [a, b].

Геометријски значај ове теореме се састоји у томе да под датим условима постоји тангента криве ${\displaystyle \,y=f(x)}$ у некој тачки ${\displaystyle \,c}$, која припада затвореном интервалу ${\displaystyle \,(a,b)}$, паралелна са сечицом која пролази кроз тачке ${\displaystyle \,A=(a,f(a))}$ и ${\displaystyle \,B=(b,f(b)).}$

Механичка интерпретација

Ако се тачка креће по закону ${\displaystyle \,x=x(t)}$, где је ${\displaystyle x(t)}$ непрекидна на ${\displaystyle [a,b]}$ и диференцијабилна на ${\displaystyle (a,b)}$, онда постоји тренутак ${\displaystyle \,t_{0}}$ у ком је тренутна брзина ${\displaystyle x'(t_{0})}$ једнака средњој брзини на интервалу ${\displaystyle [a,b]}$, која износи ${\displaystyle \,{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$, управо јер постоји то ${\displaystyle \,t_{0}}$ када је: ${\displaystyle \,f'(t_{0})={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Последице и напомене

• Као ни Ролова теорема, ни Лагранжова теорема нам не даје информацију о конструкцији тачке ${\displaystyle \,c}$, као ни о броју таквих тачака.
• Такође, последица Лагранжове теореме је и следеће: Ако је за свако ${\displaystyle \,x}$ из затвореног интервала ${\displaystyle \,[a,b]}$, ${\displaystyle \,f'(x)=0}$, онда је функција ${\displaystyle \,f}$ константна на затвореном интервалу ${\displaystyle \,[a,b]}$.
• Лагранжова теорема се може посматрати као уопштење Ролове теореме. Наиме, за ${\displaystyle \,f(a)=f(b)}$, добијамо функцију која испуњава све услове Ролове теореме.
• Два важна уопштења Лагранжове формуле, тј. теореме, су Кошијева теорема и Тејлорова теорема.

Види још

• Кошијева теорема
• Тејлорова теорема
• Ролова теорема
• Теореме средње вредности
• Интервал
• Математичка анализа

Референце

1. Математичка анализа, (Проф. Др Светозар Курепа), први дио - диференцирање и интегрирање, Техничка књига, Загреб, 1975.
2. Виша математика I (академик Радивоје Кашанин), четврто издање, Завод за издавање уџбеника СРБиХ, Сарајево, 1969.
3. Eric, Weisstein. „Mean-Value Theorem”. MathWorld. Wolfram Research. Приступљено 24. 3. 2011.
4. "Математичка анализа 1", (Проф. Др Душан Аднађевић, Проф. Др Зоран Каделбург), Студентски трг, Београд, 1995.