Лагранжова теорема (теорија група)

Уколико сте тражили Лагранжову теорему средње вредности, погледајте чланак Лагранжова теорема.

У теорији група, грани математике, Лагранжова теорема гласи да за сваку коначну групу , ред (број елемената) сваке подгрупе од дели ред групе .

Ово се може показати коришћењем концепта левих косета од у . Леви косети су класе еквиваленције одређене релације еквиваленције на и стога чине партицију . Ако можемо да покажемо да сви косети од имају исти број елемената, онда је доказ завршен, јер је само косет од . Сада, ако су и два лева косета од , можемо да дефинишемо пресликавање као . Ово пресликавање је бијекција, јер је њен инверз .

Овај доказ такође показује да је количник редова једнак индексу (број левих косета од у ). Ако запишемо ово тврђење као

затим га интерпретирамо као исказ о кардиналним бројевима, он остаје тачан, чак и за бесконачне групе и .

Последица ове теореме је да је ред било ког елемента коначне групе (тј. најмањи позитиван цео број такав да ) дели ред те групе, јер је ред од једнак реду цикличне подгрупе генерисане са . Ако група има елемената следи

.

Ово се може користити у доказу Мале Фермаове теореме и њене генерализације, Ојлерове теореме.

Обратно не важи у општем случају: ако је дата коначна група и делилац од ||, не мора обавезно да постоји подгрупа од реда . Најмањи пример је алтернирајућа група која има 12 елемената, али нема подгрупу реда 6. Међутим, ако је Абелова група, тада увек постоји подгрупа реда .