Реална анализа

Реална анализа је грана математичке анализе која се бави скупом реалних бројева. Прецизније, она се бави аналитичким својствима реалних функција и низова, укључујући конвергенцију лимесе низова реалних бројева, непрекидност, диференцијабилност и сродна својстсва реалних функција.^[3] Нека посебна својства низова и функција реалних вредности које проучава реална анализа укључују конвергенцију, границе, континуитет, глаткоћу, диференцијабилност и интеграбилност.

Прва четири делимична збира Фуријеовог реда за квадратни талас. Фуријеови редови су важан алат у реалној анализи.^[1][2]

Реална анализа се разликује од комплексне анализе која се бави проучавањем комплексних бројева и њихових функција.

Опсег

Конструкција реалних бројева

Главни чланак: Конструкција реалних бројева

Теореме реалне анализе ослањају се на својства реалног бројевног система, који се морају успоставити. Реални бројни систем се састоји од неброивог скупа (${\displaystyle \mathbb {R} }$), заједно са две бинарне операције означене + и ⋅, и редоследом означеним <. Операције претварају бројеве у поље, а заједно са редоследом и у уређено поље. Реални бројевни систем је јединствено потпуно уређено поље, у смислу да му је свако друго потпуно уређено поље изоморфно. Интуитивно, потпуност значи да нема 'празнина' у реалним бројевима. Ово својство разликује реалне бројеве од других уређених поља (нпр. рационални бројеви ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) и кључно је за доказ неколико кључних својстава функција реалних бројева. Потпуност реалних вредности се често подесно изражава као својство најмање горње границе (види доле).

Својства редоследа реалних бројева

Реални бројеви имају различита својства теоријске мреже која су одсутна у комплексним бројевима. Такође, реални бројеви чине уређено поље, у коме су збирови и производи позитивних бројева такође позитивни. Штавише, редослед реалних бројева је тоталан, а реални бројеви имају најмању горњу границу:

Сваки непразан подскуп од ${\displaystyle \mathbb {R} }$ који има горњу границу има најмању горњу границу која је такође реалан број.

Ове теоријске особине реда доводе до низа фундаменталних резултата у реалној анализи, као што су теорема монотоне конвергенције, теорема средње вредности и теорема средње вредности.

Тополошка својства реалних бројева

Многе теореме реалне анализе су последице тополошких својстава реалне бројевне праве. Својства редоследа реалних бројева описаних изнад су уско повезана са овим тополошким својствима. Као тополошки простор, реални бројеви имају стандардну топологију, која је топологија реда индукована редоследом ${\displaystyle <}$. Алтернативно, дефинисањем функције метрике или удаљености ${\displaystyle d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ користећи функцију апсолутне вредности као ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$, реални бројеви постају прототипски пример метричког простора. Показало се да је топологија индукована метриком ${\displaystyle d}$ идентична стандардној топологији индукованој редоследом ${\displaystyle <}$. Теореме попут теореме средње вредности које су у суштини тополошке природе често се могу доказати у општијим оквирима метричких или тополошких простора, а не само у ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Често такви докази имају тенденцију да буду краћи или једноставнији у поређењу са класичним доказима који примењују директне методе.

Низови

Главни чланак: Низ

Низ је функција чији је домен пребројив, потпуно уређен скуп. Домен се обично узима да се састоји од природних бројева,^[4] иако је повремено подесно узети у обзир и двосмерне секвенце индексиране скупом свих целих бројева, укључујући негативне индексе.

Од интереса за реалну анализу, низ реалне вредности, овде индексиран природним бројевима, је мапа ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}}$. Сваки ${\displaystyle a(n)=a_{n}}$ се назива члан (или, ређе, елемент) низа. Низ се ретко експлицитно означава као функција; уместо тога, по конвенцији, скоро увек се бележи као да је уређена ∞-торка, са појединачним члановима или општим чланом у заградама:^[5]

$${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ).}$$

За низ који тежи ка граници (тј. ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ постоји) каже се да је конвергентан; иначе је дивергентан. (Погледајте одељак о границама и конвергенцији за детаље.) Низ реалне вредности ${\displaystyle (a_{n})}$ је ограничен ако постоји ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ тако да је ${\displaystyle |a_{n}|<M}$ за све ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Низ реалне вредности ${\displaystyle (a_{n})}$ се монотоно повећава или смањује ако респективно важи:

$${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }$$

или

$${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$$

Ако важи било које од њих, каже се да је низ монотон. Монотоност је строга ако ланчане неједнакости и даље важе са ${\displaystyle \leq }$ или ${\displaystyle \geq }$ замењеним са < или >.

За дати низ ${\displaystyle (a_{n})}$, други низ ${\displaystyle (b_{k})}$ је подниз од ${\displaystyle (a_{n})}$ ако је ${\displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$ за све позитивне целе бројеве ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle (n_{k})}$ стриктно растући низ природних бројева.

Границе и конвергенција

Главни чланак: Гранична вредност

Грубо говорећи, граница је вредност којој се функција или низ „приближава“ док се улаз или индекс приближава некој вредности.^[6] (Ова вредност може укључивати симболе ${\displaystyle \pm \infty }$ када се адресира понашање функције или низа како се променљива повећава или смањује без ограничења.) Идеја ограничења је фундаментална за рачун (и математичку анализу уопште) и његова формална дефиниција се користи за дефинисање појмова као што су континуитет, деривати и интеграли. (У ствари, проучавање ограничавајућег понашања је коришћено као карактеристика која разликује рачун и математичку анализу од других грана математике.)

Види још

• Комплексна анализа

Референце

1. Fourier decomposition of a square wave Interactive demo of square wave synthesis using sine waves, from GeoGebra site.
2. Square Wave Approximated by Sines Архивирано на сајту (15. мај 2019) Interactive demo of square wave synthesis using sine waves.
3. Tao, Terence (2003). „Lecture notes for MATH 131AH” (PDF). Course Website for MATH 131AH, Department of Mathematics, UCLA.
4. Gaughan, Edward (2009). „1.1 Sequences and Convergence”. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
5. Some authors (e.g., Rudin 1976) use braces instead and write ${\displaystyle \{a_{n}\}}$. However, this notation conflicts with the usual notation for a set, which, in contrast to a sequence, disregards the order and the multiplicity of its elements.
6. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

Литература

• Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of real analysis (3rd изд.). Academic. ISBN 0-12-050257-7.
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th изд.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis. MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Browder, Andrew (1996). Mathematical Analysis: An Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Carothers, Neal L. (2000). Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521497565.
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introductory Real Analysis. Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1975). Introductory Real Analysis. Translated by Richard A. Silverman. Dover Publications. ISBN 0486612260. Приступљено 2. 4. 2013.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd изд.). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3rd изд.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd изд.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 091409890X.
• Pugh, Charles Chapman (2002). Real Mathematical Analysis. New York: Springer. стр. 11–15. ISBN 978-0-387-95297-0.
• Hersh, Reuben (1997). What is Mathematics, Really?. New York: Oxford University Press US. стр. 274. ISBN 978-0-19-513087-4.
• Ross Street (септембар 2003). „Update on the efficient reals” (PDF). Приступљено 2010-10-23.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Shenitzer, A (1987). „A topics course in mathematics”. The Mathematical Intelligencer. 9 (3): 44—52. S2CID 122199850. doi:10.1007/bf03023955.
• „Sequences”. www.mathsisfun.com. Приступљено 2020-08-17.
• Weisstein, Eric W. „Sequence”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-17.
• Edward B. Saff & Arthur David Snider (2003). „Chapter 2.1”. Fundamentals of Complex Analysis. ISBN 978-01-390-7874-3.
• James R. Munkres (2000). „Chapters 1&2”. Topology. ISBN 978-01-318-1629-9.
• Lando, Sergei K. (2003-10-21). „7.4 Multiplicative sequences”. Lectures on generating functions. AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
• Falcon, Sergio (2003). „Fibonacci's multiplicative sequence”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 34 (2): 310—315. S2CID 121280842. doi:10.1080/0020739031000158362.
• Gaughan, Edward (2009). „1.1 Sequences and Convergence”. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
• Dawikins, Paul. „Series and Sequences”. Paul's Online Math Notes/Calc II (notes). Приступљено 18. 12. 2012.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
• Aggarwal, M.L. (2021). „13. Limits and Derivatives”. Understanding ISC Mathematics Class XI. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). стр. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4.
• Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18.
• Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth изд.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd изд.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473

Додатна литература

• „A First Course in Analysis”. doi:10.1142/8580.

Спољашње везе

• How We Got From There to Here: A Story of Real Analysis Архивирано на сајту (22. фебруар 2019) by Robert Rogers and Eugene Boman by Donald Yau
• Analysis WebNotes Архивирано на сајту (20. фебруар 2022) by John Lindsay Orr
• Interactive Real Analysis by Bert G. Wachsmuth
• A First Analysis Course Архивирано на сајту (27. септембар 2007) by John O'Connor
• Mathematical Analysis I by Elias Zakon
• Mathematical Analysis II by Elias Zakon
• Trench, William F. (2003). Introduction to Real Analysis (PDF). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-045786-8.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl
• Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.
• „IsarMathLib”.