Апсолутна вредност

У математици, апсолутна вредност (или модуо) реалног броја је његова нумеричка вредност не узимајући у обзир знак тог броја.

График функције апсолутне вредности

Нпр. бројеви 3 и −3 имају апсолутну вредност 3, апсолутна вредност броја 5 је 5, броја −4 је 4, док је 0 апсолутна вредност само за број 0.

Дефиниција

За било који реалан број , апсолутна вредност, означава се ||, је једнака броју ако је  ≥ 0, и − ако је  < 0. ${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{matrix}a,&a\geq 0\\-a,&a<0\end{matrix}}\right.}$

|| не може бити негативан број јер је апсолутна вредност увек или позитиван број или 0. Другим речима, неједначина || < 0 нема решења. Такође, не мора важити |−| = , пошто може бити негативно.

Апсолутна вредност се може разумети као удаљеност датог броја од нуле.

Својства

Апсолутна вредност броја има следећа својства:

1. || ≥ 0
2. || = 0 ако и само ако = 0.
3. || = ||||
4. |/| = || / || (ако је ≠ 0)
5. |+| ≤ || + || (неједнакост троугла)
6. |−| ≥ ||| − |||
7. ${\displaystyle \left|a\right|={\sqrt {a^{2}}}}$
8. || ≤ ако и само ако − ≤ ≤
9. || ≥ ако и само ако ≤ − или ≤

Последња два својства су корисна при решавању неједначина, нпр:

| − 3| ≤ 9

−9 ≤ −3 ≤ 9

−6 ≤ ≤ 12.

За реалну вредност аргумента, функција () = || је непрекидна свуда, а диференцијабилна свуда осим за = 0. Уколико је аргумент комплексна променљива, функција је непрекидна свуда, али није нигде холоморфна (односно диференцијабилна; један начин да се то види је да се докаже да не задовољава Коши-Риманове једначине).

За комплексни број = + , дефинише се модуо комплексног броја као || = √(² + ²) = √ ( ^*) (погледати квадратни корен и Конјугован комплексан број). Овако дефинисан модуо комплексног броја задовољава својства 1-6 дата изнад. Опет се модуо комплексног броја, као и за реалне бројеве, може разумети као удаљеност од координатног почетка.

Често је корисно израз | − | посматрати као растојање између и (на реалној бројевној правој уколико су и реални бројеви, или, пак, у комплексној равни, уколико су и комплексни бројеви). Коришћењем овакве дефиниције, и скуп реалних, и скуп комплексних бројева постају метрички простори.

Функција није инвертибилна јер се сваком броју и његовом опозиту − додељују исте вредности.

Апсолутна вредност комплексног броја

Апсолутна вредност комплексног броја (такође звана и модуо комплексног броја) ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ је дата као ${\displaystyle |c|={\sqrt {c\,{\overline {c}}}}}$, где је ${\displaystyle {\overline {c}}}$ конјугована вредност броја ${\displaystyle c}$. Писањем ${\displaystyle c}$ као ${\displaystyle c=a+b\,i}$ за ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, горња једначина се своди на ${\displaystyle |c|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

Апсолутна вредност вектора

Апсолутна вредност вектора  = (₁, ₂,..., ) у Еуклидском простору дата је као

${\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}}$.

|| се може сматрати дужином вектора .

Алгоритам

У програмском језику, abs(), labs(), llabs() (у ), fabs(), fabsf(), и fabsl() функције рачунају апсолутну вредност њиховог аргумента. Кодирање апсолутне вредности када је аргумент цео број је лако:

int abs(int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}