Инјективно пресликавање

У математици, инјективно пресликавање или инјективна функција је функција која различите аргументе пресликава у различите вредности. Прецизније речено, за функцију се каже да је инјективна ако пресликава свако различито из свог домена у различито из свог кодомена, тако да .

Инјективно пресликавање

Још једно инјективно пресликавање

Пресликавање које није инјективно

Другим речима, је инјективна ако имплицира (или ≠ имплицира , за свако , унутар домена.

Инјективна функција се назива инјекцијом (неправилно ињекцијом, инекцијом), или 1-1 (један-један) функцијом, и каже се да она чува информације

Примери и контрапримери

• За сваки скуп , функција идентитета на је инјекција.
• Функција дефинисана као је инјекција.
• Функција дефинисана као није инјективна, јер (на пример) . Међутим, ако се редефинише тако да њен домен буде скуп ненегативних реалних бројева [0,+∞), тада је инјекција.
• Експоненцијална функција ${\displaystyle \exp$ :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}} је инјекција.
• Природни логаритам ${\displaystyle \ln$ :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}} је инјективна функција.
• Функција дефинисана као ${\displaystyle g(x)=x^{3}-x}$ није инјективна, јер на пример, .

Општије речено, када су и скупови реалних бројева, , тада је инјективна она функција чији график ниједна хоризонтална права не пресеца више од једанпут.

Инјекције су инвертибилне

Још једна дефиниција инјективне функције је да је то функција чији ефекат може да се поништи. Прецизније, је инјективна ако постоји функција , таква да за свако из ´ ; то јест, је једнако функцији идентитета на .

Треба имати у виду да не мора бити комплетни инверз од , јер композиција у другом редоследу, , не мора бити функција идентитета на .

Да би се инјективна функција претворила у бијективну (и стога инвертибилну) функцију, довољно је да се њен кодомен замени њеним опсегом . То јест, нека је такво да за свако из ; тада је бијекција. Заиста, може вити факторисана као , где је инклузиона функција из у .

Остала својства

• Ако су и инјективне, тада је и инјекција.

Инјективна композиција

• Ако је инјекција, тада је и инјекција (али не мора да буде).
• је инјекција ако и само ако за било које функције , , кад год је , тада .
• Ако је инјекција, и је подскуп од , тада је . Стога може да се добије назад из своје слике .
• Ако је инјекција, и и су подскупи , тада је .
• Свака функција може да се декомпонује у за одговарајућу инјекцију и сурјекцију . Ова декомпозиција је јединствена до на изоморфизам, и се може посматрати као инклузиона функција опсега од као подскупа кодомена од .
• Ако је инјективна функција, тада има најмање онолико елемената колико има , у смислу кардиналности.
• Ако су и коначни скупови са истим бројем елемената, тада је инјекција ако и само ако је сурјекција.

Види још

• бијекција
• мономорфизам
• сурјекција