Пеанове аксиоме
From Wikipedia, the free encyclopedia
У математичкој логици, Пеано аксиоми такође познати као Дедекинд-Пеано аксиоми или Пеано постулати, су аксиоми за природне бројеве које је у 19 веку издао Ђузепе Пеано, италијански математичар. Ови аксиоми су се користили непромењени у бројевима математичких истраживања, укључујући истраживање фундаменталних питања да ли је теорија бројева конзистентна и потпуна.
Потреба да се формализује аритметика није добро цењена све до рада Херман Грасмана који је показао 1860. да многе чињенице у аритметици могу да се изведу из више основних чињеница о операцији успешности и индукцији.[1] Године 1881, Чарлс Сандерс Перс обезбедио је аксиоматизацију природних бројева аритметике.[2] 1888. Дедекинд је предложио још једну Аксиоматизацију природних бројева аритметике, и 1889. године, Пеано објављује прецизније формулисану верзију од њих као скуп аксиома у својој књизи, Принципи аритметике представљени уз помоћ нове методе (латински: Arithmetices principia, nova methodo exposita).
Пеано аксиоми садрже три врсте изјава. Први аксиом тврди постојање најмање једног члана низа природних бројева. Следеће четири су опште изјаве о равноправности; у модерним третманима они се често не узимају као део Пеано аксиома, већ као аксиома "логике".[3] Наредне три аксиоме су првог реда изјаве о природним бројевима које изражавају основне особине операције наследника. Девети, коначни аксиом је друга изјава реда принципа математичке индукције током природних бројева. Слабији систем првог реда се зове Пеано аритметика и добија се експлицитним сабирањем и множењем оперативних симбола и заменом индукционих аксиома другог реда са првим редом аксиоме шеме.