Homologija (matematika)
From Wikipedia, the free encyclopedia
U matematici, homologija[1] je opšti način povezivanja niza algebarskih objekata kao što su abelove grupe ili moduli sa drugim matematičkim objektima kao što su topološki prostori. Homološke grupe su prvobitno definisane u algebarskoj topologiji. Slične konstrukcije su dostupne u širokom spektru drugih konteksta, kao što su apstraktna algebra,[2] grupe, Lijeva algebra,[3][4][5] teorija Galoa i algebarska geometrija.[6][7][8]
Prvobitna motivacija za definisanje grupa homologije bila je opservacija da se dva oblika mogu razlikovati putem ispitivanja njihovih otvora. Na primer, krug nije disk, jer krug ima otvor kroz njega dok je disk pun, a obična sfera nije krug, jer sfera okružuje dvodimenzionalni otvor, dok krug okružuje jednodimenzionalni otvor. Međutim, pošto je otvor „ne postoji”, nije odmah očigledno kako definisati otvor ili kako razlikovati različite vrste otvora. Homologija je izvorno bila rigorozna matematička metoda za definiranje i kategorizaciju otvora u mnogostrukosti. Slobodno govoreći, ciklus je zatvorena podmnogostrukost, granica je ciklus koji je takođe granica podmnogostrukosti, a klasa homologije (koja predstavlja otvor) je ekvivalentna klasi ciklusa po modularnim granicama. Klasa homologije je stoga predstavljena ciklusom koji nije granica bilo koje podmnogostrukosti: ciklus predstavlja otvor, odnosno hipotetičnu mnogostrukost čija bi granica bila taj ciklus, ali koji „nije tamo”.
Postoji mnogo različitih teorija homologije. Određeni tip matematičkog objekta, kao što je topološki prostor ili grupa, može imati jednu ili više povezanih teorija homologije. Kada osnovni objekat ima geometrijsku interpretaciju kao topološki prostori, -ta grupa homologije predstavlja ponašanje u dimenziji . Većina grupa ili modula homologije moge se formulisati kao izvedeni funktori na odgovarajućim Abelovskim kategorijama, merenjem neuspeha jednog funktora da bude tačan. Iz ove apstraktne perspektive, grupe homologije se određuju objektima izvedene kategorije.