Në teorinë e probabilitetit, një shpërndarjelog-normale (ose lognormale ) është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e një ndryshoreje të rastitlogaritmi i së cilës shpërndahet normalisht . Kështu, nëse ndryshorja e rastit është e shpërndarë në mënyrë log-normale, atëherë ka një shpërndarje normale. [1][2] Në mënyrë ekuivalente, nëse ka një shpërndarje normale, atëherë funksioni eksponencial i , , ka një shpërndarje log-normale. Një ndryshore e rastit e cila shpërndahet log-normalisht merr vetëm vlera reale pozitive. Është një model i përshtatshëm dhe i dobishëm për matjet në shkencat ekzakte dhe inxhinierike, si dhe mjekësi, ekonomi dhe tema të tjera (p.sh., energjitë, përqendrimet, gjatësitë, çmimet e instrumenteve financiare dhe metrika të tjera).
Shpërndarja përmendet herë pas here si shpërndarja Galton ose shpërndarja e Galtonit, pas Francis Galton. Shpërndarja log-normale është shoqëruar edhe me emra të tjerë, si McAlister, Gibrat dhe Cobb-Douglas .
Një proces log-normal është realizimi statistikor i produktit shumëzues të shumë ndryshoreve të rastit të pavarura, secila prej të cilave është pozitive. Kjo justifikohet duke marrë parasysh teoremën qëndrore limite në domenin logaritmik (nganjëherë quhet ligji i Gibratit ). Shpërndarja log-normale është shpërndarja maksimale e probabilitetit të entropisë për një variacion të rastit X — për të cilin është specifikuar mesatarja dhe varianca e . [3]
Gjenerimi dhe parametrat
Le të jetë një ndryshore normale standarde dhe le të jetë dhe të jenë dy numra realë. Pastaj, shpërndarja e ndryshores së rastit
quhet shpërndarja log-normale me parametra dhe . Këto janë pritja matematike (ose mesatarja ) dhe shmangia standarde e logaritmit natyror të ndryshores, jo pritshmëria dhe devijimi standard i vetë.
Kjo marrëdhënie është e vërtetë pavarësisht nga baza e funksionit logaritmik ose eksponencial: nëse shpërndahet normalisht, atëherë kështu është për çdo dy numra pozitivë . Po kështu, nëse shpërndahet log-normalisht, atëherë kështu është , ku .
Për të prodhuar një shpërndarje me mesataren e dëshiruar dhe variancë , përdoret dhe
Funksioni i densitetit të probabilitetit
Një ndryshore e rastit pozitive është e shpërndarë log-normalisht (d.m.th. ), nëse logaritmi natyror i X është i shpërndarë normalisht me mesatare dhe variancë :
Le të jenë dhe përkatësisht funksioni mbledhës i shpërndarjes së probabilitetit dhe funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes N (0,1), atëherë marrim [1]
Funksioni i shpërndarjes mbledhëse
The cumulative distribution function is
ku është funksioni mbledhës i shpërndarjes së shpërndarjes normale standarde (dmth., ).
Moda është pika e maksimumit global të funksionit të dendësisë së probabilitetit. Në veçanti, duke zgjidhur ekuacionin , marrim se:
Meqenëse ndryshorja e log-transformuar ka një shpërndarje normale, dhe kuantilet ruhen nën shndërrimet monotonike, kuantilet e janë
ku është kuantili i shpërndarjes normale standarde.
Në mënyrë të veçantë, mediana e një shpërndarjeje log-normale është e barabartë me mesataren e saj shumëzuese, [4]
Pritja e pjesshme
Pritja e pjesshme e një ndryshoreje të rastit në lidhje me një prag përkufizohet si
Përndryshe, duke përdorur përkufizimin e pritjes së kushtëzuar, mund të shkruhet si . Për një ndryshore të rastit log-normale, pritja e pjesshme jepet nga:
Pritja e kushtëzuar e një ndryshoreje të rastit log-normale - në lidhje me një prag — A është pritshmëria e saj e pjesshme e ndarë me probabilitetin mbledhës për të qenë në atë shtrirje:
Shumëfishi, e anasjellta, fuqia
Shumëzimi me një konstante: Nëse atëherë për
Reciproke: Nëse atëherë
Fuqia: Nëse atëherë për
Shumëzimi dhe pjesëtimi i ndryshoreve të rastit të pavarura, log-normale
Nëse dy ndryshore të pavarura, log-normale dhe janë shumëzuar [pjestuar], produkti [raporti] është përsëri log-normal, me parametra [ ] dhe , ku . Kjo përgjithësohet lehtësisht në produktin e ndryshoreve të tilla.
Në përgjithësi, nëse janë ndryshore të pavarura, të shpërndara normalisht në log, atëherë
Nëse shpërndahet log-normalisht, atëherë është një ndryshore e rastit normale.
Le të jenë ndryshore të pavarura log-normalisht të shpërndara me mundësisht të ndryshme dhe parametrat, dhe . Shpërndarja e nuk ka shprehje në formë të mbyllur, por mund të përafrohet në mënyrë të arsyeshme nga një shpërndarje tjetër log-normale në bishtin e djathtë. [5] Funksioni i tij i dendësisë së probabilitetit në afërsi të 0-së është karakterizuar dhe nuk i ngjan ndonjë shpërndarjeje log-normale. Një përafrim i përdorur zakonisht për shkak të LF Fenton (por i deklaruar më parë nga RI Wilkinson dhe i justifikuar matematikisht nga Marlow [6] ) përftohet duke përputhur mesataren dhe variancën e një shpërndarjeje tjetër log-normale:
Shuma e ndryshoreve të rastit të korreluara log-normalisht të shpërndara mund të përafrohet gjithashtu nga një shpërndarje log-normale
Nëse pastaj thuhet se ka një shpërndarje log-normale me tre parametra me mbështetje . [7] , .
Shpërndarja log-normale është një rast i veçantë i shpërndarjes SU gjysmë të kufizuar të Xhonsonit . [8]
Nëse me , pastaj ( Shpërndarja Suzuki ).
Vlerësimi i parametrave
Për përcaktimin e vlerësuesve të përgjasisë maksimale të parametrave të shpërndarjes log-normale μ dhe σ, mund të përdorim të njëjtën procedurë si për shpërndarjen normale . Vini re seku është funksioni i dendësisë së shpërndarjes normale . Prandaj, funksioni log-përgjasi ështëMeqenëse termi i parë është konstant në lidhje me μ dhe σ, të dy funksionet e përgjasisë logaritmike, dhe , arrijnë maksimumin e tyre me të njëjtën dhe . Prandaj, vlerësuesit e përgjasisë maksimale janë identikë me ata për një shpërndarje normale për vëzhgimet ,
Shpërndarja log-normale është e rëndësishme në përshkrimin e dukurive natyrore. Shumë procese të rritjes natyrore nxiten nga mbledhja i shumë ndryshimeve të vogla në përqindje të cilat bëhen shtuese në një shkallë logaritmike. Nën kushte të përshtatshme rregullsie, shpërndarja e ndryshimeve të mbledhura që rezultojnë do të përafrohet gjithnjë e më mirë nga një log-normale. Ky njihet gjithashtu si ligji i Gibratit, sipas Robert Gibrat (1904–1980) i cili e formuloi atë për kompanitë. [9] Nëse shkalla e mbledhjes së këtyre ndryshimeve të vogla nuk ndryshon me kalimin e kohës, rritja bëhet e pavarur nga madhësia. Edhe nëse ky supozim nuk është i vërtetë, shpërndarjet e madhësisë në çdo moshë të gjërave që rriten me kalimin e kohës priren të jenë log-normale. Rrjedhimisht, shtrirja e referencës për matjet në individë të shëndetshëm vlerësohen më saktë duke supozuar një shpërndarje log-normale sesa duke supozuar një shpërndarje simetrike rreth mesatares.
Një justifikim i dytë bazohet në vëzhgimin se ligjet themelore natyrore nënkuptojnë shumëzime dhe pjesëtime të ndryshoreve pozitive. Shembuj janë ligji i thjeshtë i gravitetit që lidh masat dhe largësinë me forcën që rezulton, ose formula për përqendrimet e baraspeshës të kimikateve në një tretësirë që lidh përqendrimet e edukteve dhe produkteve. Supozimi i shpërndarjeve log-normale të ndryshoreve të përfshira çon në modele të qëndrueshme në këto raste.
Sjellje njerezore
Gjatësia e komenteve të postuara në forumet e diskutimit në internet ndjek një shpërndarje log-normale. [10]
Koha e qëndrimit të përdoruesve nëpër artikuj online (shaka, lajme etj.) ndjek një shpërndarje normale.
Kohëzgjatja e lojërave të shahut priret të ndjekë një shpërndarje log-normale. [11]
Kohëzgjatja e fillimit të stimujve të krahasimit akustik që përputhen me një stimul standard ndjekin një shpërndarje log-normale. [12]
Biologji dhe mjekësi
Matjet e madhësisë së indeve të gjallë (gjatësia, zona e lëkurës, pesha). [13]
Diametrat e njollave të gjetheve të bananes, myk pluhur në elb. [15]
Për epidemitë shumë të transmetueshme, si SARS në 2003, nëse përfshihen politikat e kontrollit të ndërhyrjes publike, numri i rasteve të shtruara në spital tregohet se plotëson shpërndarjen log-normale pa parametra të lirë nëse supozohet një entropi dhe shmangie standarde përcaktohet nga parimi i shkallës maksimale të prodhimit të entropisë . [16]
Gjatësia e shtojcave inerte (flokët, kthetrat, thonjtë, dhëmbët) e ekzemplarëve biologjikë.
Disa matje fiziologjike, të tilla si tensioni i gjakut i njerëzve të rritur (pas ndarjes në nënpopullata meshkuj/femra). [17]
Disa variabla farmakokinetikë, si C <sub id="mwAsM">max</sub>, koha e gjysëmeliminimit dhe konstantja e shkallës së eliminimit . [18]
Në neuroshkencë, shpërndarja e ritmeve të shkrepjes në një popullatë neuronesh është shpesh afërsisht log-normale. Kjo është vërejtur fillimisht në korteks dhe striatum dhe më vonë në hipokampus dhe korteksin entorhinal, [19] dhe gjetkë në tru. [20][21] Gjithashtu, shpërndarjet e fitimit të brendshëm dhe shpërndarjet e peshës sinaptike duket të jenë gjithashtu log-normale [22] .
Në menaxhimin e sallave të operacionit, shpërndarja e kohëzgjatjes së operacionit .
Në madhësinë e orteqeve të thyerjeve në citoskeletin e qelizave të gjalla, duke treguar shpërndarje log-normale, me madhësi dukshëm më të lartë në qelizat kancerogjene sesa ato të shëndetshme. [23]
Kimia
Shpërndarjet e madhësisë së grimcave dhe shpërndarjet e masës molare .
Përqendrimi i elementeve të rrallë në minerale. [24]
Diametrat e kristaleve në akullore, pika vaji në majonezë, poret në tortën me kakao. [15]
Shkencat sociale dhe demografia
Në ekonomi, ka dëshmi se të ardhurat e 97%-99% të popullsisë shpërndahen log-normalisht. [25] (Shpërndarja e personave me të ardhura më të larta ndjek një shpërndarje Pareto ).
Nëse një shpërndarje e të ardhurave ndjek një shpërndarje log-normale me shmangie standarde , atëherë koeficienti Gini, i përdorur zakonisht për të vlerësuar pabarazinë e të ardhurave, mund të llogaritet si ku është funksioni i gabimit, pasi , ku është funksioni mbledhës i shpërndarjes së një shpërndarjeje normale standarde.
Në financë, në veçanti modeli Black–Scholes, ndryshimet në logaritmin e kurseve të këmbimit, indekseve të çmimeve dhe indekseve të tregut të aksioneve supozohen normale [26] (këto ndryshore sillen si interes i përbërë, jo si interes i thjeshtë, dhe kështu janë shumëzuese) . Megjithatë, disa matematikanë të tillë si Benoit Mandelbrot kanë argumentuar [27] se shpërndarjet log-Lévy, e cila ka për karakteristikë bishta të rëndë do të ishte një model më i përshtatshëm, veçanërisht për analizën për rrëzimet e tregut të aksioneve . Në të vërtetë, shpërndarjet e çmimeve të aksioneve zakonisht shfaqin një bisht të trashë . [28] Shpërndarja me bishta të trashë e ndryshimeve gjatë rrëzimeve të tregut të aksioneve zhvlerëson supozimet e teoremës qëndrore limite .
Në Scientometrics, numri i citimeve në artikujt e revistave dhe patentave ndjek një shpërndarje diskrete log-normale. [29][30]
Madhësitë e qyteteve (popullsia) plotësojnë Ligjin e Gibratit. [31] Procesi i rritjes së përmasave të qyteteve është proporcional dhe i pandryshueshëm në lidhje me madhësinë. Prandaj, nga teorema qëndrore limite, regjistri i madhësisë së qytetit shpërndahet normalisht.
Numri i partnerëve seksualë duket se përshkruhet më së miri nga një shpërndarje log-normale. [32]
Teknologjia
Në analizën e besueshmërisë, shpërndarja log-normale përdoret shpesh për të modeluar kohët për të riparuar një sistem të mirëmbajtshëm. [33]
Në komunikimin me valë, "fuqia mesatare vendore e shprehur në vlera logaritmike, të tilla si dB ose neper, ndjek një shpërndarje normale (dmth. Gaussian). [34] Gjithashtu, pengimi i rastësishëm i sinjaleve të radios për shkak të ndërtesave dhe kodrave të mëdha, i quajtur hijezim, shpesh modelohet si një shpërndarje log-normale.
Shpërndarja e madhësisë së skedarit të skedarëve audio dhe video të qasshme publikisht ( llojet MIME ) ndjek një shpërndarje log-normale mbi pesë rende madhësie . [35]
Madhësitë e skedarëve prej 140 milionë skedarësh në kompjuterët personalë që përdorin Windows OS, të mbledhura në vitin 1999. [36][10]
Madhësitë e emaileve të bazuara në tekst (1990) dhe emaileve të bazuara në multimedia (2000). [10]
Në rrjetet kompjuterike dhe analizën e trafikut të internetit, log-normal paraqitet si një model i mirë statistikor për të përfaqësuar sasinë e trafikut për njësi të kohës. Kjo është treguar duke zbatuar një qasje të fuqishme statistikore në një grup të madh gjurmësh reale të internetit.
Marlow, NA. (nën 1967). "A normal limit theorem for power sums of independent normal random variables". Bell System Technical Journal. 46 (9): 2081–2089. doi:10.1002/j.1538-7305.1967.tb04244.x.{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
Sangal, B.; Biswas, A. (1970). "The 3-Parameter Lognormal Distribution Applications in Hydrology". Water Resources Research. 6 (2): 505–515. doi:10.1029/WR006i002p00505.{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
Sutton, John (mar 1997). "Gibrat's Legacy". Journal of Economic Literature. 32 (1): 40–59. JSTOR2729692.{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
Pawel, Sobkowicz; etj. (2013). "Lognormal distributions of user post lengths in Internet discussions - a consequence of the Weber-Fechner law?". EPJ Data Science.{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
S. K. Chan, Jennifer; Yu, Philip L. H. (2006). "Modelling SARS data using threshold geometric process". Statistics in Medicine. 25 (11): 1826–1839. doi:10.1002/sim.2376. PMID16345017.{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
Makuch, Robert W.; D.H. Freeman; M.F. Johnson (1979). "Justification for the lognormal distribution as a model for blood pressure". Journal of Chronic Diseases. 32 (3): 245–250. doi:10.1016/0021-9681(79)90070-5. PMID429469.{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
Polizzi, S., Laperrousaz, B., Perez-Reche, F. J., Nicolini, F. E., Satta, V. M., Arneodo, A., & Argoul, F. (2018). A minimal rupture cascade model for living cell plasticity. New Journal of Physics, 20(5), 053057. doi: https://doi.org/10.1088/1367-2630/aac3c7
Black, F.; Scholes, M. (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy. 81 (3): 637. doi:10.1086/260062.{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
Thelwall, Mike; Wilson, Paul (2014). "Regression for citation data: An evaluation of different methods". Journal of Informetrics. 8 (4): 963–971. arXiv:1510.08877. doi:10.1016/j.joi.2014.09.011.{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
O'Connor, Patrick; Kleyner, Andre (2011). Practical Reliability Engineering. John Wiley & Sons. fq.35. ISBN978-0-470-97982-2.{{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)